Torus

Torus merupakan suatu objek geometris yang eksis di dimensi tiga. Torus adalah produk dari dua buah lingkaran, sebut lingkaran pertama berada pada bidang XY dan lingkaran kedua tegak lurus dengan lingkaran kedua, di mana pusatnya berimpit dengan keliling lingkaran pertama kemudian dirotasikan berdasarkan sumbu radial lingkaran pertama, kira-kira seperti ini:

Dan wujudnya seperti ini:

Persamaan parametrik untuk torus ialah:

Adapun luas permukaan dan volumnya dapat kita cari dengan sedikit imajinasi, yaitu mengiris torus hingga terputus menjadi sebuah tabung/silinder, sehingga didapatkan alasnya ialah lingkaran berjejari r dan tingginya sama dengan keliling lingkaran yang berjejari R. Sehingga didapatkan luas permukaan dan volumnya ialah:

Masih banyak keturunan-keturunan torus yang lain, misalkan torus yang dibangun dari elips, torus poligon, torus knot, dan lainnya.

Misalkan ada suatu planet/asteroid berbentuk torus dan suatu pesawat antariksa berjalan (maksudnya terbang) menuju asteroid tadi tepat pada sumbu putarnya, tentunya semakin dekat pesawat tadi semakin besar pula medan dan percepatan gravitasi yang didapatkan oleh pesawat. Namun, jika pesawat sudah berada pada jarak z = r dan menuju ke pusat massa asteroid itu, yang terjadi adalah kebalikannya, percepatan gravitasi yang didapatkan pesawat makin berkurang meskipun jarak antara kedua pusat massanya semakin dekat, lho? Ada yang bisa membuktikan?

pustaka dan sumber gambar: en.wikipedia.org/wiki/Torus Selengkapnya...

Operator Nabla pada Koordinat Kartesian 3 Dimensi

Operasi nabla pada medan vektor/skalar dapat berupa gradien, \(\nabla f\), divergensi, \(\nabla \bullet \textbf{F}\) atau curl, \(\nabla \times \textbf{F}\). Operator nabla sendiri didefinisikan sebagai:

\begin{align} \nabla \equiv \widehat{\textbf{i}} \frac{\partial }{\partial x} + \widehat{\textbf{j}} \frac{\partial }{\partial y} + \widehat{\textbf{k}} \frac{\partial }{\partial z} \label{nabla} \end{align}

Operator nabla dapat dioperasikan pada fungsi skalar \(f\) maupun fungsi vektor \(\mathbf{F}\). Dalam ruang-3, fungsi skalar \(f\) dan fungsi vektor \(\mathbf{F}\) dalam koordinat kartesian 3 dimensi secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk

\begin{align} f &= f(x,y,z) \nonumber \\
\mathbf{F} &= F_x(x,y,z)\widehat{\textbf{i}} + F_y(x,y,z)\widehat{\textbf{j}} + F_z (x,y,z)\widehat{\textbf{k}} \nonumber \end{align}

Berikut ini diberikan secara ringkas operasi \(\nabla\) pada fungsi skalar dan vektor dalam koordinat kartesian.

1. Gradien Medan Skalar

Gradien dari suatu fungsi skalar \(f\) ialah fungsi kemiringan dari \(f\) di sembarang titik pada setiap arah.

\begin{align} \mathrm{grad}(f) \equiv \nabla f \label{graddef} \end{align}

Mengingat produk antara vektor dan skalar merupakan vektor maka gradien dari \(f\) adalah vektor. Misalkan untuk \(f = f(x,y,z)\),

\begin{align} \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\hat{\mathbf{i}}+\frac{\partial f}{\partial x}\hat{\mathbf{j}}+\frac{\partial f}{\partial x}\hat{\mathbf{k}} \label{grad} \end{align}

Contoh untuk medan skalar \(f(x,y,z)=x^2y^3+x^3y^2-y^2z^4\).

\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} &= f_x(x,y,z)=2xy^3+3x^2z^2 \nonumber \\
\frac{\partial f}{\partial y} &= f_y(x,y,z)=3x^2y^2-2yz^4 \nonumber \\
\frac{\partial f}{\partial z} &= f_z(x,y,z)=2x^3z-4y^2z^3 \nonumber \end{align}

dengan demikian, didapatkan

\begin{align} \nabla f(x,y,z) = (2xy^3+3x^2z^2)\hat{\mathbf{i}} + (3x^2y^2-2yz^4)\hat{\mathbf{j}} + (2x^3z-4y^2z^3)\hat{\mathbf{k}} \label{gradfC} \end{align}

2. Divergensi Medan Vektor

Divergensi dari suatu fungsi vektor \(\mathbf{F}\), \(\mathrm{div}(\mathbf{F})\) didefinisikan sebagai dot product antara \(\nabla\) dan \(\mathbf{F}\).

\begin{align} \mathrm{div}(\mathbf{F}) \equiv \nabla \bullet \mathbf{F} \label{divdef} \end{align}

Mengingat dot product dari dua vektor adalah skalar maka divergensi dari \(\mathbf{F}\) adalah skalar.

\begin{align} \nabla \bullet \mathbf{F} &= \left [\widehat{\textbf{i}} \frac{\partial }{\partial x} + \widehat{\textbf{j}} \frac{\partial }{\partial y} + \widehat{\textbf{k}} \frac{\partial }{\partial z} \right ] \bullet \left [\widehat{\textbf{i}} F_x + \widehat{\textbf{j}} F_y + \widehat{\textbf{k}} F_z \right ] \label{div0} \end{align}

Mengingat \(\hat{\mathbf{e}_i}\bullet\hat{\mathbf{e}_i} = \hat{\mathbf{i}}\bullet\hat{\mathbf{i}} = \hat{\mathbf{j}}\bullet\hat{\mathbf{j}} = \hat{\mathbf{k}}\bullet\hat{\mathbf{k}} = 1\) dan \(\hat{\mathbf{e}_i}\bullet\hat{\mathbf{e}_j} = 0\) jika \(i \neq j\), maka persamaan (\ref{div0}) dapat dituliskan ulang sebagai.

\begin{align} \nabla \bullet \mathbf{F} &= \begin{pmatrix} F_x & F_y & F_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \nonumber \\
&= \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \label{div} \end{align}

Contoh untuk fungsi medan vektor \(\mathbf{F}(x,y,z)=(y+xe^{yz})\hat{\mathbf{i}}+(z+ye^{yz})\hat{\mathbf{j}}+(xy+ze^{yz})\hat{\mathbf{k}}\), sehingga

$$ F_x = (y+xe^{yz}),\: F_y=(z+ye^{yz}),\: F_z=(xy+ze^{yz}) $$

Diperoleh

\begin{align} \nabla \bullet F = e^{yz}+(e^{yz}+yz\, e^{yz})+(e^{yz}+yz\, e^{yz})=(3+2yz)e^{yz} \label{divFC} \end{align}

3. Curl Medan Vektor

Curl dari suatu fungsi vektor \(\mathbf{F}\), \(\mathrm{curl}(\mathbf{F})\) didefinisikan sebagai cross product antara \(\nabla\) dan \(\mathbf{F}\).

\begin{align} \mathrm{curl}(\mathbf{F}) \equiv \nabla \times \mathbf{F} \label{curldef} \end{align}

Mengingat cross product antara dua vektor juga merupakan vektor maka curl dari \(\mathbf{F}\) adalah vektor.

\begin{align} \nabla \times \mathbf{F} &= \left [\widehat{\textbf{i}} \frac{\partial }{\partial x} + \widehat{\textbf{j}} \frac{\partial }{\partial y} + \widehat{\textbf{k}} \frac{\partial }{\partial z} \right ] \times \left [\widehat{\textbf{i}} F_x + \widehat{\textbf{j}} F_y + \widehat{\textbf{k}} F_z \right ] \label{curl0} \end{align}

Mengingat \(\hat{\mathbf{e}_i}\times\hat{\mathbf{e}_i} = 0\), \(\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{j}} = -\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}} = \hat{\mathbf{k}}\), \(\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{k}} = -\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{j}} = \hat{\mathbf{i}}\), dan \(\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{i}} = -\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{k}} = \hat{\mathbf{j}}\), maka persamaan (\ref{curl0}) dapat dituliskan ulang sebagai.

\begin{align} \nabla \times \mathbf{F} &= \begin{vmatrix} \widehat{\textbf{i}} & \widehat{\textbf{j}} & \widehat{\textbf{k}} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} \nonumber \\
&= \left ( \frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} \right )\widehat{\textbf{i}} + \left ( \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x} \right )\widehat{\textbf{j}} + \left ( \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} \right )\widehat{\textbf{k}} \label{curlF} \end{align}

Contoh untuk medan vektor yang sama dengan contoh sebelumnya, diperoleh,/p> \begin{align} \nabla \times F = (x-1+z^2\, e^{yz}-y^2\, e^{yz})\hat{\mathbf{i}}+(xy\, e^{yz}-y)\hat{\mathbf{j}}-(1+xz\, e^{yz})\hat{\mathbf{k}} \label{curlFC} \end{align}

4. Laplacian Medan Skalar

Laplacian dari fungsi skalar \(f\), dinotasikan \(\bigtriangleup f\) atau \(\nabla^2 f\) didefinisikan sebagai.

\begin{align} \bigtriangleup f \equiv \nabla \bullet (\nabla f) \label{Laplaciandef} \end{align}

Dengan demikian, Laplacian suatu fungsi skalar adalah skalar.

Misalkan untuk medan skalar \(f\) pada contoh sebelumnya. Berdasarkan definisi (\ref{Laplaciandef}), Laplacian dari \(f\) dapat diperoleh dengan mengambil divergensi dari persamaan (\ref{gradfC}).

\begin{align} \bigtriangleup f &= (2y^3+6xz^2) + (6x^2y-2z^4) + (2x^3-12y^2z^2) \nonumber \\
&= 2(x^3+y^3) + 6(x^2y+xz^2) - 2z^4 - 12y^2z^2 \nonumber \end{align}

Selengkapnya...

Penjelasan Mengenai Pemekaran Waktu

Time dilation (pemekaran waktu) biasa membuat kita bingung. Dalam pemekaran waktu, waktu pada kerangka bergerak mengalir lebih lambat (mekar/memanjang) relatif terhadap kerangka diam. Misalkan kita tinjau A dan B dengan mengambil A sebagai kerangka acuan diam, dan B bergerak dalam kecepatan tinggi. Dari efek relativitas khusus, B akan lebih muda dari pada A, jadi apanya yang memanjang?

Jika dituliskan dalam persamaan, efek pemekaran waktu ialah:

Δt’ = γ Δt₀

Di mana Δt’ perubahan waktu kerangka bergerak menurut kerangka diam dan Δt₀ perubahan waktu menurut kerangka bergerak. Penting diingat bahwa tanda (‘) menunjukkan peninjauan suatu kerangka lain terhadap kerangka pengamat (acuan), sedangkan indeks 0 menunjukkan peninjauan terhadap kerangka sendiri. Mengingat γ ≥ 1 atau

Di sinilah terdapat perbedaan pemahaman mengenai perubahan waktu, Δt dan selang waktu itu sendiri, t. Sederhananya, misalkan A makan dua kali lebih lama dari pada B, maka setelah B selesai makan, A baru setengah jalan. Jadi kita tuliskan:

Untuk menghindari kerancuan pada transformasi, t saya ganti dengan a (age, usia) (memang definisi waktu itu banyak sekali), maka dapat kita tuliskan ulang persamaan pemekaran waktu:

Misalkan B bergerak dengan laju ½√3 c, maka didapatkan γ = 2. Berarti tiap dua kali jam milik B berdetak, A mengamati jamnya baru berdetak satu kali. Karena penuaan dan proses-proses fisis lain bergantung terhadap kerangka masing-masing maka dibanding A, proses penuaan pada B dua kali lebih lambat.

Sekarang kita gunakan transformasi Lorentz. Penting diingat bahwa label aksen (‘) dalam transformasi Lorentz memiliki makna berbeda, yaitu sebagai penanda kerangka, misal K, K’, K’’, dan seterusnya, tidak ada hubungannya dengan tinjauan relatif terhadap kerangka lain. Sekali lagi untuk menghindari kerancuan, saya mengganti tanda aksen dengan indeks A dan B.

Kita ambil contoh lagi detikan jam pada kerangka B, yaitu pada t_B = 0 dan t_B =1. Jelas bahwa Δt_B = 1. Jika kita gunakan transformasi Lorentz ke-empat (untuk waktu):

Maka:

Δt_A = 1.γ – 0.γ = γ

Jadi A mengamati jam milik B berdetak lebih lambat dengan faktor γ. Dengan demikian pada soal kita tadi, untuk mengamati B makan selama setengah jam (waktu B) A harus melewatkan waktu selama satu jam (waktu A). Seandainya umur biologis keduanya sama-sama 80 tahun, maka untuk mengamati 40 tahun kehidupan B, A telah menghabiskan seluruh hidupnya.

Sebenarnya relativitas khusus sangatlah mudah, kecuali penandaan kerangka dan peninjauannya yang membingungkan. Mudah-mudahan artikel ini memperjalas pemahaman kita mengenai pemekaran waktu.

Selengkapnya...

Pembahasan Soal Essai OSN Astronomi 2009

1. (DND) Koordinat Antares adalah α= 16^h 29^m 24,40^s , δ = -26° 25′ 55.0″. Tentukanlah waktu sideris pada saat bintang Antares terbit dan terbenam di Jakarta (ϕ = -6° 10′ 28″), dan abaikan refraksi oleh atmosfer Bumi.

Penyelesaian:

α = 16^h 29^m 24,40^s = 16^h,49

δ = -26° 25′ 55.0″ = -26°,43

ϕ = -6° 10′ 28″ = -6°,17

cos h = - tanδ tanϕ = - tan(-26,43) tan(-6,17) = -(-0,4970)(-0,1081) = -0,0537

h = ± 93°,0782 = 6^h,21 = 6^h 12^m,3

Waktu sideris saat Antares terbit:

Θ = α + h = 16^h,49 – 6^h,21 = 10^h 17^m

Waktu sideris saat Antares terbenam:

Θ = α + h = 16^h,49 + 6^h,21 = 22^h 42^m

2. Untuk menentukan waktu menanam padi pada tahun ini, seorang petani yang berada di kota A (λ = 7^h 10^m 27^s BT dan φ = -6° 49′) menggunakan posisi gugus bintang Pleiades (α = 3^h 47^m dan δ = 20° 7′) yang diamati pada jam 7 malam waktu lokal.
   Kebiasaan ini telah dilakukan oleh para petani di pulau Jawa sejak abad ke-17. Pengamatannya dilakukan dengan menggunakan selongsong bambu yang diisi penuh dengan air, dan diarahkan ke gugus bintang Pleiades di arah timur. Volume air yang tumpah akan menandai posisi Pleiades cukup tinggi untuk dimulai musim menanam padi pada tahun tersebut. Jika panjang selongsong bambu adalah 100 cm dan diameternya 10 cm, dan selongsong tersebut diisi air sampai penuh. Kemudian diarahkan ke Pleiades, dan ternyata air yang tumpah sebanyak 0,785 liter. Tentukan kapan waktu pengamatan Pleiades yang dilakukan petani tersebut?

 

Penyelesaian:

Volume awal air = π × 5² × 100 = 7854 cm³ = 7,854 liter

Vtumpah = V₁

V₂ = 7,854 liter – 2V₁ = 7,854 – 2(0,785) = 6,284 liter

πr²l₂ = 6,284 liter, dengan memsukkan nilai di dapatkan:

l₂ = 6,284/(π×0,5²) = 8 dm = 80 cm

Δl = l – l₂ = 100 – 80 = 20 cm, sehingga sudut θ:

tan θ = 10/20 = 0,5

θ = 26°,577

Dengan menggunakan segitiga bola:

cos HA = (cos(90 – h) – cos(90 – φ) cos(90 + δ))/(sin(90 – φ) sin(90 + δ))

Dengan h = 26°,577, φ = -6°49’ dan δ = 20°7’ diperoleh HA = 3^h 54^m, namun karena Pleiades masih di timur (belum kulminasi), maka HA = -3^h 54^m.

Mengingat definisi HA = HA₀₀ + t, atau LST = α + HA – t, dengan memasukkan t = 19h (pukul 7 malam) didapatkan LST = -19^h 7^m atau 4^h 53^m (ingat periodik a = 24+a). Jika kita hitung, maka harinya ialah:

Tanggal = ((4^h 53^m)/(24^h)) (365 hari) = 74 hari dihitung dari 23 September, atau sekitar tanggal 5 Desember.

3. Angin matahari yang isotropik (sama ke segala arah) menyebabkan laju kehilangan massa matahari 3×10^-14 M_Matahari setiap tahunnya.
1. Berapa massa yang di’tangkap’ setiap hari oleh Bumi ketika mengelilingi matahari?
2. Berapa persen pertambahan berat badan kita setiap hari akibat pertambahan massa bumi yang disebabkan oleh angin matahari ini?

Penyelesaian:

Luasan bola yang ditempuh oleh angin matahari sampai ke Bumi ialah:

A = 4πr² = (4π)(1,496×10¹¹)² = 2,812×10²³ m².

Sedangkan luas penampang Bumi yang menghadap ke Matahari ialah:

A₂ = πR² = π(6,371×10⁶)² = 1,275×10¹⁴ m².

Laju aliran partikel matahari, Q = (3×10^-14)(1,99×10³⁰) = 5,97×10¹⁶ kg/tahun.

Massa yang ditangkap Bumi perhari = (A₂/A)(Q/365,25) = 74.110 kg

Pertambahan berat badan sesuai dengan pertambahan percepatan gravitasi Bumi karena pertambahan massa. Dengan berasumsi radius Bumi konstan, maka:

Δw/w = ΔM/M × 100% = (74.110)/(6×1024) = (1,235×10^-18)%

4. Pada saat sebuah bintang masif meledak menjadi sebuah supernova, maka bintang tersebut akan bertambah terang dalam waktu yang singkat dengan luminositasnya 40 milyar kali lebih besar daripada luminositas Matahari. Jika supernova seperti itu tampak di langit seterang Matahari, berapakah jarak supernova tersebut?

Penyelesaian:

E_S = E_M, L_S = 40.000.000.000 L_M, d_S = …?

Mengingat E = L/4πd²:

L_S/4πd_S² = L_M/4πd_M²

L_S/L_M = d_S²/d_M²      à  mengingat L_S = 4×10¹⁰ L_M dan d_M = 1 AU

d_S = √(4×10¹⁰×1) = 2×10⁵ AU = 0,967 pc.

5. Pengamatan pada panjang gelombang radio pada suatu awan gas yang berputar disekeliling sebuah lubang hitam (black hole) yang berada di pusat galaksi X memperlihatkan bahwa radiasi yang berasal dari transisi hidrogen (frekuensi diamnya = 1420 MHz) terdeteksi pada frekuensi 1421,23 MHz.
1. Hitunglah kecepatan awan ini dan apakah awan ini bergerak menuju atau menjauhi kita?
2. Jika awan gas ini berada 0,2 pc dari lubang hitam, dan orbitnya berupa lingkaran, hitunglah massa lubang hitam.

Penyelesaian:

a.       f₀ = 1420,41 MHz, f’ = 1421,23 MHz, jadi Δf = 0,82 KHz.

Gunakan pergeseran Doppler:

v = (Δf/f₀)×c = (0,82/1420,41)(3×10⁸ m/s) = 173.189 m/s

b.      Jika M adalah massa lubang hitam, v kecepatan awan, dan R radius orbit awan, maka:

M = Rv²/G

Mengingat 0,2 pc = 6,17×10¹⁵ m, v = 1,73×10⁵ m/s, dan G = 6,67×10^-11 N m² kg^-2 maka dengan memasukkan nilai didapatkan M = 2,78×10³⁶ kg.

Selengkapnya...

Paradoks Ulang Tahun

        Berapakah jumlah orang yang berulang tahun pada hari yang sama di kelasmu? Berapa peluang dua orang memiliki hari ulang tahun yang sama? Dengan berasumsi satu tahun sama dengan 365 hari (mengabaikan kelebihan hari pada bulan Februari) tentunya peluang agar terdapat dua orang yang berulang tahun pada hari yang sama mencapai 100 % jika terdapat 366 orang. Namun jika kita membicarakan peluang, kita dapat menghitung kemungkinan-kemungkinan dalam peluang tertentu. Paradoks ini mengatakan diperlukan cukup 23 orang agar peluang ada dua orang yang memiliki hari ulang tahun yang sama 50 %. Lho?

        Problem ini dapat diselesaikan dengan metode probabilistik statistik. Jika terdapat 23 orang, berarti ada  ₂₃C₂ = 253 pasangan yang bisa dibentuk. Peluang agar dua orang tidak memiliki ulang tahun yang sama ialah:

• Q = 365/365 × 364/365 × 363/365 × ... × 342/365
• Q = (1/365)²³ × (365 × 364 × 363 × ... × 343)
• Q = 365!/342! × (1/365)²³

 
^{Jika dihitung akan didapatkan 0,49270276, sehingga peluang dua orang memiliki hari ulang tahun yang sama, P = 1 - Q = 0,507297 = 50,7297%.}

         ^{Jika kita mengambil pasangan-pasangan yang ada, yaitu 253, sedangkan peluang dua orang berulang tahun sama, p = 1/365 dan peluang dua orang memiliki dua hari ulang tahun yang berbeda q = 364/365, maka:}

Q = (364/365)²⁵³  = 0,4995 sehingga P = 1 - Q = 1 - 0,4995 = 0,5005 = 50,05 %.  Hasil yang tidak jauh berbeda dengan perhitungan pertama.

Sumber gambar : http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/f/ff/Birthdaymatch.png/450px-Birthdaymatch.png Pustaka : http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem, http://cryptoagi.blogspot.com/2010/01/birthday-paradox.html Selengkapnya...