Mengingat pada postingan sebelumnya saya telah membuktikan ∫ dx/x dan ∫ ex dx, pada postingan singkat ini saya akan membuktikan nilai ∫ ax dx, di mana a suatu konstanta. Pertama kita nyatakan a sebagai suatu bilangan eksponensial dari e yaitu en = a sehingga ln(a) = n. Ingat ∫ exdx = ex.
Melihat laju pertumbuhan penduduk dunia tentunya akan membuat kita geleng-geleng kepala. Mungkin pertanyaan pertama yang terpikir oleh Anda ialah apakah beberapa abad ke depan Bumi masih muat menampung seabrek penduduknya? Lalu terbersit pertanyaan di kepala saya: Mana yang lebih banyak, Orang hidup atau orang yang sudah mati? Sebagai gambaran, berikut grafik jumlah penduduk dunia dari tahun ke tahun.
Jadi menurut Anda, manakah yang lebih banyak?
Saya akan mencari solusinya menggunakan model matematika. sebelumnya, kita ambil asumsi-asumsi berikut untuk mempermudah perhitungan.
Dengan kedua asumsi tadi, kita telah menyederhanakan problem ini sehingga dapat dituliskan sebagai:
Tentu saja model ini hanyalah suatu pendekatan, namun cukup baik untuk menjawab pertanyaan di atas. Nah, di awal pembuktian kita coba ambil pertidaksamaan orang mati < orang hidup.
kita ambil lagi pendekatan integral (lihat di sini) sehingga persamaan di atas menjadi:
Dengan memasukkan nilai f(t) diperoleh:
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| hidup | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
| mati | 0 | 1 | 5 | 14 | 30 |
Terlihat untuk t > 5 (5 generasi), jumlah orang mati sudah lebih banyak dari orang hidup jika fungsi jumlah penduduk f(t) = t2. Mengingat manusia sudah ada selama puluhan ribu tahun, tentu saja sudah berada pada t yang sangat besar. Silakan analisis fungsi fungsi jumlah penduduk dunia menggunakan regresi kalau masih tidak percaya. Jika Anda hitung dan memasukkan funsinya dalam model di atas saya yakin jumlah orang yang sudah mati lebih banyak daripada jumlah orang yang hidup. Malah jika diteliti dengan seksama, berapapun tanjakan dari fungsi f(t), t10 sekalipun akan ada suatu waktu di mana jumlah orang mati melampaui yang hidup.
Berikut adalah koreksi berdasarkan komentar dari Pak Mariano, saya mengucapkan banyak terima kasih atas apresiasinya dan sikap kritisnya terhadap tulisan saya. Saya sengaja hanya menambahkan update di bagian bawah -- tidak memposting ulang, selain karena pemodelan yang lalu setelah saya teliti tidak ada kekeliruan selain pendekatan fungsi yang tidak tepat, tentu saja juga karena proses berpikir itu indah. Sekarang saya akan mengambil fungsi eksponensial satu suku dengan mantissa sembarang yang dapat ditulis f(t) = xt, di mana x kelipatan jumlah penduduk (hidup) tiap masa satu generasi. Jika dimasukkan dalam model menjadi:
Agar t memiliki nilai, nilai dalam kurung (yang di-log-kan) harus bernilai lebih besar dari nol (ingat log dari bilangan nonpositif tak terdefinisi). Dengan metode komputasi, saya peroleh x ≈ 1,972 dengan kata lain t hanya terdefinisi untuk x < 1,972. Nah,pertanyaannya apakah dalam kenyataan nilai x ini lebih kecil dari pada 1,972? Setelah meninjau data-data jumlah penduduk dunia (dapat dilihat di sini atau di sini). Dengan mengingat asumsi ke-1 saya mengambil kisaran sebagai berikut:
| tahun | jumlah penduduk (trilyun) |
| 1610 | 0,5 |
| 1680 | 0,6 |
| 1750 | 0,72 |
| 1820 | 1,0 |
| 1890 | 1,5 |
| 1960 | 3,1 |
| 2030 | ~9(perkiraan) |
Berdasarkan data belakangan ini diperoleh rasio rata-rata tidak sampai dua kali, apalagi untuk periode yang lebih lama dari 1610. Tentu saja terlihat rasio semakin meningkat juga dan jikalau prediksi pada tahun 2030 sesuai maka rasionya menjadi 3. Mungkin karena belakangan ini tidak ada perang besar dan bangsa-bangsa Asia tengah menggenjot perkembangannya. Well, karena di sini saya mendapat rasionya lebih kecil dari pada 2 dan sedikit lagi cakaran pada kertas saya, saya mengambil kesimpulan jumlah orang mati masih lebih banyak dibanding orang hidup. Tapi mengingat rasio itu cenderung bertambah bisa saja pada suatu masa orang hidup menjadi lebih banyak.
Selengkapnya...Berbicara tentang Modus Ponens berarti berbicara tentang implikasi. Implikasi ialah suatu atau satu set kalimat yang menyatakan keadaan bersyarat (sebab→akibat). Kalimat implikasi ditandai dengan jika-maka (if-then), contohnya "Jika kain disiram air maka kainnya basah". Saya sengaja memberikan contoh kalimat yang jelas karena kita akan menentukan tabel kebenaran dari suatu implikasi.
Berdasarkan kalimat tadi, kita sebut frase "Kain disiram air" sebagai A, "Kainnya basah" sebagai B dan kalimat utuhnya kita sebut A → B. Jika Kain disiram, jelas kain akan basah, tidak mungkin tidak. Dalam pola matematika dapat kita tulis jika A benar dan B benar, A → B akan bernilai benar. Bagaimana jika A salah dan B benar? Bagaimana jika kain tak disiram namun kain basah? Tentu saja mungkin, karena sebabnya kain basah ialah disiram namun disiram bukan satu-satunya sebab mengapa kain basah. Jadi meskipun tidak disiram kain bisa saja basah karena alasan lain, kalimat A→B tetap bernilai benar jika A salah dan B benar. Selanjutnya bagaimana jika A salah dan B salah? Seperti kasus sebelumnya jika kain tak disiram bisa saja kain tak basah jika sebab lainnya tak muncul, A → B bernilai benar jika A salah dan B salah. Kemungkinan terakhir jika A benar dan B salah: kain disiram namun kain tidak basah, mungkinkah? Tentu saja tidak mungkin, jadi A → B bernilai salah jika A benar dan B salah. Dari penjelasan di atas dapat kita tuliskan tabel kebenarannya:
A | B | A → B |
B | B | B |
B | S | S |
S | B | B |
S | S | B |
Berdasarkan tabel kebenaran dari implikasi di atas terlihat bahwa kalimat implikasi hanya bernilai salah jika sebabnya benar dan akibatnya salah. Jadi, dapat ditarik kesimpulan jika suatu kalimat implikasi bernilai benar dan sebabnya juga benar maka akibatnya pasti bernilai benar. Kesimpulan ini disebut juga modus Ponens.
Nah, sekarang kita lanjut ke paradoks Curry. Apakah kalimat "Jika kalimat ini benar, maka matahari terbit di barat" bernilai benar atau salah? Apakah Matahari terbit di barat? Pasti kebanyakan orang menjawab kalimat ini salah. Simbolkan frase "kalimat ini benar" dengan A dan "Matahari terbit di barat" dengan B. Jelas bahwa B bernilai salah, dan jika Anda beranggapan A → B salah, berdasarkan tabel kebenaran A → B bernilai salah hanya jika A benar dan B salah. Dengan benarnya A, maka "kalimat ini benar" bernilai benar, artinya kalimat "Jika kalimat ini benar, maka matahari terbit di barat" bernilai benar dengan kata lain matahari terbit di barat.
Jika kita coba memecahkannya dengan modus Ponens. Perhatikan bahwa "kalimat ini" ialah nilai dari A yang juga ekivalen dengan A → B, sehingga
Akhirnya, kita berhasil membuktikan bahwa kalimat tadi benar dan matahar terbit di barat. Kok bisa? Inilah yang disebut self-referring sentence, A menyimbolkan "kalimat ini", padahal "kalimat ini" adalah A → B, jadi A yang merupakan elemen dari suatu grup yang ekivalen dengan grup itu sendiri.
Ini merupakan pelajaran matematika SMU, tapi berani jamin tak banyak guru maupun mahasiswa matematika yang tahu kenapa ∫ dx/x = ln(x). Pada kesempatan ini saya akan membuktikannya. Senjata yang kita perlukan adalah deret Mac Laurin untuk ex, namun saya tidak akan menurunkannya dari deret Taylor yang menggunakan kalkulus, saya akan menurunkan deret Mac Laurin ex dari deret binomial Newton yang notabene bisa didapat dengan aljabar biasa.
Pertama, ingat kembali nilai tetapan Euler atau bilangan natural yang didefinisikan sebagai:
Mengingat n amat sangat besar (menuju tak hingga), maka nilai nx bisa diabaikan dalam (nx)2 - nx. Begitu pula (nx)2 dan nx kita abaikan dalam (nx)3 - 3(nx)2 + 2nx sehingga didapatkan
Jadilah deret Mac Laurin untuk ex. Nah, sekarang kita buktikan sesuatu yang sangat unik, yaitu turunan dari ex.
Ini adalah salah satu bentuk yang istimewa dalam kalkulus. Selanjutnya kita akan membuktikan ∫ dx/x = ln(x) dengan memilih fungsi
