Pembuktian Teorema Pascal

          Perhatikan gambar di samping. Menurut Teorema Pascal, untuk sembarang segi enam tali busur, titik XYZ terletak dalam satu garis lurus dan saat ini kita akan membuktikannya. Pertama-tama kita buktikan terlebih dahulu jumlah sudut yang berselang satu sudut pada segi enam tali busur (semisal A + C + E atau B + D + F) selalu sama dengan 360°. Dengan teorema segiempat tali busur diketahui dua sudut yang berhadapan jumlahnya 180°, dengan demikian:

 

B + AFC = 180°

D + CFE = 180°

Didapatkan B + AFC + D + CFE = B + D + F = 360°. Demikian pula jika mengambil pasangan A-C-E. Jadi telah dibuktikan

A+C+E = B+D+F = 360°   .... (1)

 

Perhatikan segi empat CDEY (gambar atas), karena segi empat, jumlah sudutnya harus 360°.

y + (180° - E) + (360° - D) + (180° - C) = 360°

y = 360° – (180° - E) – (360° - D) – (180° - C)

y = C + D + E – 360°

ingat A + C + E = 360°, atau C + E = 360° - A, jadi:

y = (360° - A) + D - 360°

y = D – A    .... (2)

Berikutnya, perhatikan segitiga EYZ, diperoleh:

(180° - E) + (y + y’) + z’ = 180°

y’ = E – y – z’    .... (3)

Berikutnya lagi, perhatikan segitiga CYX, diperoleh:

(180° – C) + (y + y”) + x’ = 180°

y” = C – x’ – y   .... (4)

Setelah itu perhatikan segitiga XDZ, diperoleh:

x’ + z’ + D = 180°

x’ + z’ = 180° – D

-(x’ + z’) = D – 180°   .... (5)

          Nah, sekarang persenjataan telah lengkap, mari kita buktikan. Menurut Teorema Pascal, ketiga titik perpotongan dari perpanjangan rusuk segi enam tali busur yang saling berhadapan (titik X, Y dan Z) jika dihubungkan akan membentuk satu garis lurus. Bagaimana cara membuktikannya? Jika y’ + y + y” = 180°, maka jelas terbukti XYZ segaris.

Anggap y’ + y + y” = θ

Ingat persamaan (3) dan (4)

(E – y – z’) + y + (C – x’ – y) = θ

E + C – y – z’ – x’ = θ

Ingat persamaan (2) dan (5)

E + C – y – (x’ + z’) = θ

E + C – (D – A) + (D – 180°) = θ

E + C + A – 180° = θ

Ingat persamaan (1)

A + C + E = 360°

360° - 180° = θ

θ = 180°

Terbukti θ = y’ + y + y” = 180°, dengan demikian XYZ segaris.

          Tidak hanya sampai di situ, teorema Pascal juga berlaku pada geometri proyeksi, dengan kata lain teorema Pascal juga berlaku pada elips dan proyeksi lingkaran lainnya. Coba Anda lihat gambar di atas secara menyerong sampai lingkaran O terlihat elips (lebih baik melihat dengan satu mata). Garis XYZ tetap terlihat segaris. Jadi terbukti teorema Pascal juga berlaku pada geometri proyeksi.

Selengkapnya...

Alat Ukur Berat dan Massa: Apa Bedanya?

          Kerancuan mengenai alat ukur berat (bobot) dan alat ukur massa sama halnya dengan kerancuan mengenai berat dan massa. Saat ditanya berapa beratmu? Nyaris semua orang menjawab sekian kilogram, padahal kilogram adalah satuan massa. Tentu saja tidak perlu bertanya berapa massamu atau menjawab sekian Newton (kedengarannya kan aneh). Tidak perlu pula memprotes mereka yang keliru bicara, karena mungkin mereka paham hanya saja terbiasa berbahasa dengan “lazim”.

          Oke, kita mulai ke topik, apa bedanya alat ukur berat dan massa? Setahu saya alat ukur berat disebut timbangan dan alat ukur massa disebut neraca, tetapi neraca pegas merupakan alat ukur berat dan timbangan gantung (dan beberapa timbangan lainnya, seperti timbangan bebek) merupakan alat ukur massa, jadi sekali lagi tidak perlu meributkan segi bahasa. 

          Pertama kita definisikan dulu apa itu massa. Massa adalah kadar kuantitas zat dalam suatu benda, yang juga merupakan kemampuan benda untuk mempertahankan keadaannya. Adapun berat merupakan gaya, yang tidak lain perkalian antara massa dan percepatan, dalam hal berat percepatan yang dimaksud adalah percepatan gravitasi. Jadi kita telah ketahui

Berat (w) = massa (m) × percepatan gravitasi (g)

Nah, alat ukur berat semisal neraca pegas, bekerja berdasarkan prinsip elastisitas bahan. Bahan elastis jika diberikan tegangan (σ)

σ = F/A

di mans F gaya tarik dan A luas penampang bahan, akan menghasilkan regangan (e)

e = ΔL/L

Nilai e ini bersifat linear selama bahan berada dalam keadaan deformasi elastis. Dari kedua besaran di atas kita dapatkan suatu tetapan yang disebut modulus elastis atau modulus Young,

Y = tegangan/regangan = σ/e

Atau

F/A = Y×ΔL/L

Tetapan Y ini merupakan sifat fisis dari bahan, sedangkan luas penampang (A) dan panjang bahan (L) merupakan besaran morfologis dari bahan, sehingga untuk suatu bahan tertentu (penampang dan panjangnya) kita dapatkan:

F/ΔL = AY/L = konstan

Nilai AY/L inilah yang disebut tetapan gaya, k, yang pada pegas disebut tetapan Hooke. Jadi pada neraca pegas (di mana F = w) terdapat hubungan:

ΔL = w / k

ΔL = m . g / k

          Pembacaan dilakukan dengan mengukur besarnya perubahan panjang pegas (ΔL). Jadi dengan ΔL, berat dan massa bisa ditentukan. Namun kita hanya bisa mengandalkan neraca pegas untuk mengukur massa jika kita cukup yakin berada di permukaan Bumi. Jika tidak? Misalkan jika suatu benda bermassa m ditimbang di suatu tempat dengan percepatan gravitasi 2g, maka pengukurannya:

ΔL’ = m . 2g / k = 2ΔL

Akibatnya pada pembacaan benda tadi memiliki massa 2m, yang sudah tentu salah karena massa bersifat konstan. Jadi, bagaimana kita mengukur massa? Jawabannya dengan instrumen sederhana seperti neraca Ohauss, neraca dua lengan (yang untuk timbang emas itu), neraca gantung, bahkan jungkat-jungkit bisa digunakan. Instrumen pengukur massa didasarkan pada konsep torka (atau torsi atau momen gaya). Jika suatu benda diberikan gaya sebesar F sejauh l dari porosnya, maka benda tadi akan menderita torka sebesar

Τ = l F sin θ

          Prinsipnya, pada instrumen pengukur massa kita membandingkan torka yang bekerja pada lengan beban (l_b) yang ingin diketahui dan torka yang bekerja pada lengan satunya lagi (lengan kuasa, l_k) yang telah diketahui. Jika telah terjadi keseimbangan, berarti torka yang bekerja pada kedua lengan sama dan dengan koreksi dan faktor pengali yang telah dibuat dari pabrik, massa benda dapat dihitung.

          Jika beban memberikan gaya berat m_b.g, θ = 90^o dan faktor konstanta dari pabrik c , maka saat terjadi keseimbangan

l_b . m_b . g = l_k . m_k. g . c

karena l_b, m_k dan c kita anggap konstan, maka:

m_b = l_k . C

di mana C = m_k.c/l_b. Pengukuran dilakukan dengan membaca panjang lengan kuasa. Jadi di manapun benda bermassa m_b ditimbang (misal pada tempat dengan percepatan gravitasi 2g), nilai l_k akan sama mengingat tidak ada lagi nilai g dalam persamaan, atau kerennya (atau ribetnya) dapat ditulis:

l_b . m_b . 2g = l_k . m_k. 2g . c   =   l_b . m_b . g = l_k . m_k. g . c

          Jadi, jika menggunakan neraca torka, di sini, di Bulan, di Mars, atau di angkasa luar (asalkan percepatan gravitasinya tidak nol), massa benda yang terbaca akan tetap sama.`

Selengkapnya...

Membuat Roket Mikro Berbahan Bakar Black Powder

          Black powder (BP) merupakan bahan peledak yang biasa digunakan sebagai bahan bakar roket kecil, bom, petasan dan mesiu senjata api. Reaktivitas black powder berbeda-beda tergantung cara pembuatannya, namun tanpa adanya tekanan BP murni tidak akan meledak. Karena kita bermaksud membuat bahan bakar roket, maka yang kita buat kali ini tidak perlu terlalu reaktif. BP yang akan kita buat kali ini cukup aman dan saya yakin tidak akan terjadi kecelakaan asalkan Anda tidak teledor.

Bahan yang diperlukan:

• Kalium nitrat/Potasium nitrat (KNO₃)
• Belerang/sulfur (S₈)
• Arang kayu
• Bubuk gips/batu tahu (CaSO₄)
• Kaleng kemasan Supradyn atau CDR
• Pelat aluminium atau lembaran plastik tebal yang agak kaku
• Lem Alteco110
• Air
• Kertas hvs dan tisu

Alat yang diperlukan:

• Mortar 15 cm, kalau tidak ada pakai lumpang dan alu biasa saja
• Neraca Ohaus atau neraca tiga lengan
• Paku dan Palu
• Obeng
• Spatula logam atau sendok kecil
• Mangkuk 
• Gunting atau cutter
• Semangat dan kerja keras
  
  

Yang tidak diperlukan:

• Sendal jepit tetangga sebelah
• Sarung nenek
  
  

Di mana bisa memperolehnya?

          KNO₃ dapat Anda beli di toko penyedia bahan kimia dan alat-alat lab, toko pupuk (dijual sebagai pupuk grand K warna putih, kata teman saya itu pupuk udang [kalau salah saya nggak tanggung]), atau di laboratorium sekolah. Belerang bisa diperoleh di toko bahan kimia, pasar tradisional, dan apotek besar, sedangkan arang (yang biasa digunakan untuk membakar ikan atau barbekiu) bisa diperoleh di pasar tradisional atau supermarket. Arang yang baik adalah arang yang telah gosong sempurna, tidak ada sisa-sisa kayu yang belum terbakar, jadi jika Anda ingin membuat arang sendiri (untuk menghemat mungkin) perhatikan betul-betul pembuatannya. Gips dapat diperoleh di toko bahan kimia, apotek besar dan di toko seni. Kaleng Supradyn kalau tidak ada ya beli dulu di toko, supermarket atau apotek dan habiskan isinya bersama teman atau keluarga. Jadi kalau-kalau terjadi kecelakaan setidaknya Anda sudah minum Supradyn.

          Neraca: gunakan neraca Ohaus, neraca tiga lengan, atau timbangan digital dengan ketelitian setidaknya 1 gram. Jika tak ada gunakan saja timbangan kue (yang skala terkecilnya 10 gram). Jika masih tak ada juga pinjamlah punya tetangga. Perkiraan harga: saya membeli KNO₃ teknis di toko bahan kimia dengan harga Rp 60.000,00 per kg, belerang di pasar tradisional Rp 20.000,00 seperempat kilogramnya, dan arang Rp 20.000,00 sekantong besar di warung sembako.

Cara membuat BP:

1. Ambil beberapa bongkah arang dan bungkus dengan beberapa lapis kertas hvs, pukul-pukul dengan palu sampai menjadi butiran kecil dan buang kotoran-kotorannya (sisa-sisa kayu) jika ada.
2. Timbang 15 gram butiran arang tadi dan masukkan ke mortar. Timbang 10 gram belerang dan masukkan juga ke dalam mortar, haluskan sampai benar-benar halus (kalau bisa seukuran debu). Jangan terburu-buru, karena hasilnya akan jelek.
3. Timbang 75 gram KNO₃ dan masukkan lagi ke campuran tadi, gerus lagi sampai benar-benar halus dan tercampur. Saat KNO₃ sudah ditambahkan, jauhkan campuran dari api!
4. Jemur campuran sebentar. Jika sudah, simpan dalam botol kering.
   
   

Cara membuat badan roket:

1. Lubangi dasar kaleng Supradyn tepat di tengah dengan paku dan palu, lalu perbesar dengan obeng hingga menjadi lingkaran berdiameter kira-kira 5 – 6 mm.
2. Masukkan paku atau semacamnya yang telah dilumuri minyak goreng ke dalam lubang di kaleng dari luar kaleng, lalu letakkan kaleng di atas meja datar. Usahakan paku berdiri tegak (tidak miring).
3. Masukkan adonan gips yang agak encer yang terbuat dari serbuk gips dan air yang telah diaduk rata ke dalam kaleng hingga kira-kira setebal 1 cm, lakukan dengan rapi.
4. Jemur kaleng sekitar 20 menit sampai gips cukup kering, cabut paku dengan segala cara yang Anda punya, hati-hati jangan sampai gipsnya retak. Jemur lagi kalengnya sekitar 10 menit. 
5. Setelah gips benar-benar kering, perbaiki bentuk lubangnya dengan obeng atau kikir yang sesuai. Upayakan lubangnya membentuk seperti corong.
6. Buat fin roket dengan memotong pelat aluminium atau lembaran plastik tebal hingga berbentuk trapesium seperti pada gambar sebanyak tiga atau empat buah. Ukuran dapat disesuaikan dengan selera tetanggamu.
7. Tempel fin pada kaleng dengan bantuan lem Alteco110 seperti pada gambar, pasang dengan kuat dan rapi. Sisakan kira-kira 1 cm di bawah dasar roket. Pasang yang rapi, jangan asal-asalan.
   
   

Cara membuat sumbu:

1. Ambil sedikit BP dan taburkan memanjang pada kertas tisu yang telah dipotong berukuran 4 x 20 cm. Gulung sedikit lebih kecil dari lubang pada kaleng dan beri sedikit lem cair agar tisu melekat dan tekuk kedua ujungnya agar black powder tidak kabur keluar. 
2. Jemur hingga 100% kering. 
3. Kalau Anda tipe orang yang telaten, akan lebih bagus menggunakan kapas/serat katun yang direndam dengan campuran BP, sedikit air, dan sedikit lem kertas. Pilin menjadi sumbu lalu jemur hingga benar-benar kering.

Cara merakit roket:

1. Ambil badan roket dan masukkan sumbu pada lubang hingga naik sekurang-kurangnya 1 cm di atas gips.
2. Usahakan sumbu yang masuk dalam kaleng tegak, dan masukkan black powder sedikit demi sedikit dan padatkan dengan pangkal obeng (atau apa saja terserah, asal jangan pakai dengkul).
3. Saat sudah pada batas (perhitungkan tutup kaleng), tutup kaleng. Sebelumnya beri lem Alteco 110 pada bagian tutup yang masuk dalam kaleng.
4. Setelah tertutup rapat, beri lagi lem pada pinggiran tutup kaleng, biarkan sampai benar-benar kering.

Bagaimana cara meluncurkan roketnya?

1. Carilah lapangan yang cukup luas dan sepi. Kalau ndak sepi tunggu sampai cukup sepi, jangan mengusir orang selapangan.
2. Amankan lokasi, beri informasi kepada siapa saja yang ada di dekat lokasi peluncuran.
3. Silakan bawa video recorder kalau mau.
4. Kalkulasi kondisi lapangan dan angin.
5. Carilah batu/landasan yang permukaannya datar dan letakkan di titik ideal, usahakan permukaan landasan tidak miring.
6. Letakkan roket di atas landasan dan bakar sumbunya.
7. Tunggu di situ sepuluh menit (just kidding ;)
8. Mundur segera setidaknya sekitar 20 meter, makin jauh makin baik, terlalu jauh nggak kelihatan.
9. Roket meluncur deh. Antisipasi jatuhnya roket, jangan sampai ada oknum yang terluka.

Penting!

• Jika menggunakan timbangan dengan ketelitian yang payah, timbang bahan beberapa kali lipat dari resep, lalu bagi berdasarkan volume.
• Dewasalah! jangan-bermain-main dengan membahayakan orang lain. Itu sama sekali bukan hal yang keren!
• Terkadang sumbu terlihat padam di pertengahan jika pembuatan sumbu kurang baik, pastikan sumbu benar-benar padam (tunggu dua-tiga menitan) sebelum mendekati roket. Jika sumbu benar-benar padam, buat sumbu baru dan ulangi merakit roket.
• Jika ingin roket terbang lebih stabil, buatlah moncong (nose) yang aerodinamis, misalnya dari kepala shuttle cock dan tempelkan dengan kuat pada tutup kaleng.
• Saat membuat roket, saya sambil meminum susu kedelai dan hasilnya sukses. Silakan minum susu kedelai juga agar hasilnya sukses.
  

Selamat bekerja dan berkreasi...


Baca juga:
Propelan sukrosa untuk roket
Selengkapnya...

Persamaan Schrödinger

Persamaan Schrödinger dapat diturunkan dari persamaan umum gelombang:

Dengan melakukan separasi variabel



didapatkan



dari persamaan di atas dapat diperoleh dua persamaan, yaitu:





yang solusi umumnya untuk ialah:

mengingat dan , maka didapatkan solusi dari persamaan gelombang:

Jika mengambil model partikel dalam kotak

Jika menggunakan syarat batas φ(x) = 0 untuk x = 0, didapati bahwa koefisien C = 0 sehingga suku pertama dapat ditiadakan. Dengan mengingat persamaan ke-dua, solusi persamaan gelombang ini menjadi:

Sekarang kita menggambarkan gerak partikel dalam suatu keadaan ruang-waktu dengan beranggapan keadaan partikel dalam bentuk gelombang, maka kita dapat melakukan substitusi, di mana

dan ν = E/p, sehingga didapatkan

Dengan substitusi nilai ν serta substitusi , persamaan gelombang dapat dituliskan dalam bentuk:

mengingat , maka sehingga didapatkan bentuk persamaan Schrödinger:

atau




Catatan: = frekuensi (nu) dan = kecepatan.

baca juga: Penyelesaian PDP orde-2 dengan Separasi Variabel

Selengkapnya...

Pembuktian Teorema Thales

Berdasarkan Teorema Thales, pada segitiga circumcircle dengan salah satu rusuknya melalui pusat lingkaran (dengan kata lain diameter lingkaran), maka sudut di depan rusuk itu selalu sama dengan 90°. Pembuktiannya sebenarnya sangat sederhana, perhatikan gambar:

Karena OA, OB dan OC sama panjang (radius lingkaran), maka segitiga AOB dan BOC pastilah segitiga sama kaki, dengan demikian dan . Mengingat jumlah sudut segitiga sama dengan 180°, maka:

Sederhana, bukan?

Selengkapnya...