p a r a d o k s

Sabtu, 13 Agustus 2011

Persamaan Friedmann, Rapat Kritis dan Radius Alam Semesta

Dalam model gravitasi Newton, semua materi saling tarik menarik dengan gaya antara objek M dan m

$F=-\frac{GMm}{r^2}$

Perhatikan gambar berikut ini:

M merupakan massa objek benda pertama yang terdistribusi dalam jarak r yang merupakan jarak kedua objek. Tentu saja hanya distribusi massa dalam bola berjejari r yang mempengaruhi benda 2. Potensial yang terkait dengan gaya gravitasi tadi ialah

$\phi=-\frac{GMm}{r}$

Jika kita tinjau distribusi massa dengan rapat massa per satuan volum, ρ, didapatkan massa yang berkontribusi dalam medan tersebut ialah M = 4πr³ρ/3 sehingga potensial gravitasinya

$\phi=-\frac{4 \pi G \rho\, m}{3}r^2$

dan energi total partikel ialah energi kinetik ditambah energi potensialnya

$E=\frac{m}{2}\dot{r}^2-\frac{4 \pi G \rho\, m}{3}r^2$

Dalam ekspansi alam semesta, semua titik bergerak dengan faktor yang sama, seragam ke semua arah. Oleh karena itu, akan lebih mudah bila jarak antara dua objek kita nyatakan menggunakan suatu faktor skala yang bergantung waktu, R(t). Agar lebih jelas, perhatikan gambar berikut.

Misalkan pada alam semesta 1-D terletak titik A dan B dengan jarak pada mulanya ialah r. Akibat pengembangan alam semesta, jarak keduanya menjadi r'. Didapatkan r' = (R'/R₀)r₀. Jika dipilih suatu koordinat bergerak dengan kecepatan yang sama dengan kecepatan ekspansi, sehingga didapatkan hubungan jarak riil r dan jarak terhadap koordinat bergerak r_c diberikan dalam bentuk

$\vec{r}=R(t)\, \vec{r}_c$

koordinat bergerak ini membuat posisi benda konstan terhadap sistem koordinat. Dengan substitusi r ke dalam energi total dan mengingat $\small \dot{r}_c=0$ (r_c konstan), maka

$E=\frac{m}{2}\dot{R}^2 r^2_c-\frac{4 \pi G \rho\, m}{3}R^2r_c^2$

Mengalikan kedua ruas dengan 2/mR²r_c² diperoleh

$\frac{2E}{mR^2r_c^2}=\frac{\dot{R}^2}{R^2}-\frac{8 \pi G }{3}\rho$

atau

$\frac{\dot{R}^2}{R^2}=\frac{8 \pi G }{3}\rho-\frac{k}{R^2}$

di mana k = -2E/mr_c². Persamaan ini disebut persamaan Friedmann.

Nilai k ini penting untuk mengetahui masa depan alam semesta. jika k < 0, alam semesta akan terus menerus mengembang tanpa batas. Jika k = 0 alam semesta akan terus mengembang dengan kelajuan yang makin melambat, dan jika k > 0, alam semesta akan mengembang hingga radius maksimal, kemudian menciut kembali. Dua yang disebutkan pertama merupakan model terbuka, sedangkan yang terakhir disebut model tertutup.

Jika kita menghitung untuk model k = 0, persamaan Friedmann tadi tereduksi menjadi

$\left (\frac{dR}{dt} \right )^2=\frac{8 \pi G \rho R^2}{3}$

Rapat energi ini disebut rapat energi kritis, ρ_c. Dalam postingan yang lalu telah saya bahas bahwa tetapan Hubble adalah besaran kecepatan per jarak, atau dalam bentuk diferensial dapat ditulis

$H(t)=\frac{\left (\frac{dR}{dt} \right )}{R}$

Dengan demikian, kerapatan massa-energi kritis dapat dituliskan dalam nilai saat ini dari parameter Hubble H₀

$\rho_c=\frac{3 H_0^2}{8 \pi G}$

Substitusi nilai H₀ = 75 (km/s)/Mpc = 2,43 . 10^-18 s diperoleh

$\rho_c=\frac{3 (2,43 \times 10^{-18}\textup{ s})^2}{8 \pi (6,67 \times 10^{-11} \textup{ m}^3 \textup{ kg}^{-1} \textup{ s}^{-2})}$

$\rho_c \approx 10^{-26} \textup{ kg m}^{-3}$

Jadi seandainya nilai k alam semesta ini sama dengan nol, maka rapat energinya sama dengan ρ_c atau dalam orde 10^-26 kg/m³. Dengan kata lain, jika rapat massa alam semesta kurang dari ρ_c, konsekuensinya alam semesta ini akan terus mengembang tanpa batas. Berdasarkan perhitungan, rapat massa-energi alam semesta dari kontribusi CMBR, neutrino dan graviton hanya sekitar 10% dari rapat kritis. Inilah salah satu faktor yang mendorong ilmuwan untuk mencari keberadaan dark matter dan dark energy yang mungkin menyumbang massa yang besar untuk mencapai nilai rapat kritis.

Adapun faktor skala alam semesta, R untuk k = 0 dapat dihitung dengan:

$\frac{\dot{R}^2}{R^2}=\frac{8 \pi G}{3}\rho$

$\dot{R}^2=\frac{8 \pi G}{3R}\rho_0 R_0^3$

$\frac{dR}{dt}=\frac{1}{R^{1/2}}\left \{\frac{8 \pi G}{3}\rho_0 R_0^3 \right \}^{1/2}$

$R^{1/2}dR=\left \{\frac{8 \pi G}{3}\rho_0 R_0^3 \right \}^{1/2}dt$

akhirnya diperoleh

$\frac{2}3{}R^{3/2}=\left \{\frac{8 \pi G}{3}\rho_0 R_0^3 \right \}^{1/2}t$

$R=\left $6 \pi G \rho_0 R_0^3 \right $^{1/3}t^{2/3}$

Model seperti ini disebut model jagat raya Einstein-de Sitter yang terus menerus mengembang dengan laju yang menurun. Menggunakan persamaan di atas, dapat dihitung usia alam semesta

$H(t)=\frac{\left (\frac{dR}{dt} \right )}{R}=\frac{\frac{2}{3}\left (6 \pi G \rho_0 R_0^3 \right )^{1/3}t^{-1/3}}{\left (6 \pi G \rho_0 R_0^3 \right )^{1/3}t^{2/3}}=\frac{2}{3}t^{-1}$

dengan demikian, usia alam semesta saat ini dapat diperoleh dengan memasukkan nilai tetapan Hubble saat ini, H₀

$t=\frac{2}{3}H_0^{-1}=\frac{2}{3}(2,43 \times 10^{-18}\textup{ s}^{-1})^{-1}=2,74 \times 10^{17}\textup{ s}$

atau sekitar 8,7 milyar tahun.

Keterangan: dalam mekanika, tanda dot di atas simbol besaran berarti turunan besaran tersebut terhadap waktu.

Pustaka: Purwanto, Agus, Pengantar Kosmologi, ITS Press, Surabaya, 2009

Baca juga:
Model Alam Semesta
Paradoks Schrödinger
Grandfather Paradox

WW8F3NXKDQ2X

Selengkapnya...

Selasa, 09 Agustus 2011

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor, dapat ditulis sebagai:

\begin{align} \mathrm{A} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \label{def1} \end{align}

di mana $\mathrm{A}$ suatu matriks persegi $(n,n)$, $\mathbf{x}$ merupakan vektor $(n,1)$ dengan $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$, dan $\lambda$ merupakan nilai eigen (skalar) dari matriks $\mathrm{A}$. Untuk setiap matriks persegi $\mathrm{A}$, terdapat pasangan nilai $\lambda$ dan $\mathbf{x}$ yang memenuhi jalinan (\ref{def1}). Patut diingat bahwa sebagian matriks real mungkin saja tidak memiliki nilai eigen real. Untuk mendapatkan nilai eigen dari matriks $\mathrm{A}$, mula-mula kita tulis ulang persamaan (\ref{def1}) ke dalam bentuk:

\begin{align} \mathrm{A} \mathbf{x} - \lambda \mathbf{x} &= \mathbf{0} \nonumber \\
(\mathrm{A} - \lambda) \mathbf{x} &= \mathbf{0} \label{def2} \\
\end{align}

dengan $\mathbf{0}$ adalah vektor-0 (vektor yang semua komponennya bernilai 0).

Sebagai contoh, misalkan diberikan $\mathrm{A}$ matriks 3x3 dan vektor $\mathbf{x}$

\begin{align} \mathrm{A}=\begin{pmatrix}-8&21&-9\\-14 & 31 & -13\\ -22 & 45 & -19 \end{pmatrix} \mathrm{dan \; }\textbf{x}=\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} \label{contoh} \end{align}

Berdasarkan persamaan (\ref{def2}), dapat dituliskan

\begin{align} \begin{pmatrix} -8-\lambda & 21 & -9\\ -14 & 31-\lambda & -13\\ -22 & 45 & -19-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} = \mathbf{0} \label{c1} \end{align}

Untuk mencari nilai $\lambda$ yang sesuai, terlebih dahulu dihitung determinan dari $(\mathrm{A}-\lambda)$ dengan metode Sarrus (khusus matriks 3x3) atau ekspansi kofaktor. Menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama, diperoleh

\begin{align} \det(\mathrm{A}-\lambda) &= (-8-\lambda)\begin{vmatrix} 31-\lambda & -13\\ 45 & -19-\lambda \end{vmatrix}-(21)\begin{vmatrix} -14 & -13\\ -22 & -19-\lambda \end{vmatrix}+(-9)\begin{vmatrix} -14 & 31-\lambda\\ -22 & 45 \end{vmatrix} \nonumber \\
&= -\lambda^3+4\lambda^2+4\lambda-16 \nonumber \\
\end{align}

Polinomial yang didapatkan di atas disebut polinomial karakteristik. Berdasarkan persamaan (\ref{def2}), diketahui jika $\mathbf{x}$ tidak nol maka $\det(\mathrm{A}-\lambda)$ haruslah sama dengan $0$ (dapat dilihat dengan metode Crammer, nilai komponen $\mathbf{x}$ berupa bentuk tak tentu alih-alih $0$). Dengan demikian, diperoleh persamaan

\begin{align} 0 = -\lambda^3+4\lambda^2+4\lambda-16 \label{c2} \end{align}

Jelaslah bahwa nilai eigen adalah akar-akar dari polinomial karakteristik. Jika dicari dengan pemfaktoran atau dengan bantuan Matlab, diperoleh $-\lambda^3+4\lambda^2+4\lambda-16 = (\lambda+2)(-\lambda+2)(\lambda-4)$ sehingga didapatkan ketiga nilai eigen yaitu $\lambda=2, \lambda=-2$ dan $\lambda=4$. Tentunya matriks persegi orde-n akan memberikan persamaan karakteristik orde-n pula. Dengan begitu, matriks persegi orde-n memiliki paling banyak n nilai eigen (bisa kurang jika ada akar kembar).

Berikut ini diberikan cara spesial (sebenarnya hanya langkah ringkas) untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3.

☺ matriks 2x2: $\det(\mathrm{A}) - \lambda\cdot \mathrm{trace}(\mathrm{A}) + \lambda^2$

☺ matriks 3x3: $\det(\mathrm{A}) - \lambda \cdot (M_{11}+M_{22}+M_{33}) + \lambda^2 \cdot \mathrm{trace}(\mathrm{A}) - \lambda^3$

dengan $M_{ij}$ adalah Minor dari matriks $\mathrm{A}$.

Vektor Eigen

Vektor eigen $\mathbf{x}$ merupakan solusi dari persamaan (\ref{def1}) untuk setiap nilai $\lambda$ yang ada. Memperhatikan persamaan (\ref{def1}), jelaslah bila $\mathbf{x_1}$ adalah vektor eigen terkait nilai eigen $\lambda_1$ maka $k\cdot \mathbf{x_1}$ dengan $k$ suatu skalar juga merupakan solusinya. Jadi, kita cukup menyatakan vektor eigen dalam bentuk paling sederhana. Misalnya pada matriks $\mathrm{A}$ tadi mempunyai tiga nilai eigen, vektor eigennya juga ada tiga. Untuk $\lambda=2$, substitusikan nilai $\lambda$ ke dalam persamaan (\ref{c1})

\begin{align} \begin{pmatrix} -8-(2) & 21 & -9\\ -14 & 31-(2) & -13\\ -22 & 45 & -19-(2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \nonumber \\
\begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ -14 & 29 & -13\\ -22 & 45 & -21 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \label{cv1} \\
\end{align}

SPL di atas dapat diselesaikan dengan metode Gauss atau Gauss-Jordan. Metode Crammer tak memberikan hasil karena SPL (\ref{cv1}) tidak memiliki solusi sejati (determinannya = 0). Jadi kita hanya dapat memperoleh solusi trivialnya dengan menyatakan $a$, $b$, dan $c$ misalkan dalam $c$. Dengan metode Gauss, matriks pada ruas kiri persamaan (\ref{cv1}) dapat diubah menjadi matriks segitiga melalui operasi baris elementer (OBE) yaitu:

\begin{align} \begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ -14 & 29 & -13\\ -22 & 45 & -21 \end{pmatrix} O_{21}(-14/10) = \begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ 0 & -\frac{4}{10} & -\frac{4}{10}\\ -22 & 45 & -21 \end{pmatrix} O_{31}(-22/10) = \begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ 0 & -\frac{4}{10} & -\frac{4}{10}\\ 0 & -\frac{12}{10} & -\frac{12}{10} \end{pmatrix} O_{32}(-3) = \begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ 0 & -\frac{4}{10} & -\frac{4}{10}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \nonumber \end{align}

Dengan demikian, persamaan (\ref{cv1}) dapat ditulis ulang menjadi:

\begin{align} \begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ 0 & -0,4 & -0,4\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \label{cv2} \end{align}

jika $a, b, c$ kita nyatakan dalam $c$, diperoleh

\begin{align} -0,4b - 0,4c &= 0 \nonumber \\
-10a + 21b - 9c &= 0 \nonumber \\
\end{align}

Dari kedua persamaan di atas diperoleh $b=-c$ dan $a=-3c$. Jadi vektor eigen untuk $\lambda=2$ ialah

\begin{align} \mathbf{x}_1=\begin{pmatrix} -3c\\ -c\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} \nonumber \\
\end{align}

Dengan cara serupa, untuk $\lambda=-2$, jika ditelusuri diperoleh

\begin{align} \mathbf{x}_2=\begin{pmatrix} \frac{1}{4}c\\ \frac{1}{2}c\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{pmatrix} \nonumber \\
\end{align}

dan untuk $\lambda=4$,

\begin{align} \mathbf{x}_3=\begin{pmatrix} c\\ c\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \nonumber \\
\end{align}

Dapat Anda cek dengan menyulihkan nilai $\lambda$ dan $\mathbf{x}$ pasangannya masing-masing, jalinan (\ref{def1}) terpenuhi.

Lampiran:

Script Matlab untuk mencari polinomial karakteristik dan nilai eigen:

Script Matlab untuk merubah matriks 2x2, 3x3, dan 4x4 menjadi matriks segitiga atas:

Pustaka:

Mursita, Danang, Aljabar Linear, Rekayasa Sains, Bandung, 2010

Keterangan: M_mn artinya minor dari elemen matriks baris ke-m kolom ke-n.

Selengkapnya...

Menghitung nilai π

Nilai π (dibaca pi, bukan phi) sering dikenal sebagai nisbah antara keliling dan diameter lingkaran. Berapapun besarnya lingkaran, nisbah K/D selalu konstan. Berikut beberapa cara yang bisa digunakan untuk mendapatkan nilai π.

Cara Empiris (Metode Primitif)

Cara primitif ini adalah cara yang paling praktis bagi orang yang malas menghitung sekaligus yang paling ribet bagi orang yang malas bereksperimen. Yang dibutuhkan dalam metode ini ialah beberapa contoh benda lingkaran, benang dan mistar. Cukup dengan mengukur keliling dan diameter lingkaran benda-benda tadi, mencari perbandingan K/D, lalu dirata-ratakan, perkiraan nilai π bisa didapatkan.

Cara Geometri (Metode Archimedes)

Archimedes terilhami oleh poligon, dan beranggapan lingkaran adalah poligon juga, yakni segi-tak hingga beraturan. Ambil sebuah lingkaran berdiameter D (radius r = D/2). Selanjutnya, lingkaran dipecah menjadi n buah segitiga yang sama besar seperti yang diperlihatkan pada gambar.

Perhatikan bahwa θ = 360°/2n = 180°/n dan y = a/2.

$\small \frac{y}{r}=\sin\theta$

$\small \frac{a}{2r}=\sin\theta$

$\small a=2r\sin\theta$

Jadi, luas tiap segitiga:

$\small L_{\bigtriangleup}=\frac{a\times r}{2}=\frac{(2r\sin\theta)r}{2}$

$\small L_{\bigtriangleup}=r^2 \sin \left (\frac{180^{\circ}}{n} \right )$

dan luas total segi-n beraturan

$\small L=n\times L_{\bigtriangleup}$

$\small L=nr^2\sin \left (\frac{180^{\circ}}{n} \right )$

Perhatikan lagi agar berlaku perbandingan geometri, maka luas lingkaran haruslah hanya bergantung kepada r, dengan kata lain

$\small n \sin \left (\frac{180^{\circ}}{n} \right )=\textup{konstan}$

Untuk lingkaran (segi-tak hingga beraturan), ambil n = inf. Konstanta inilah yang kita sebut π.

$\small \pi=\lim_{n \to \infty }n\sin \left (\frac{180^{\circ}}{n} \right )$

Jika dihitung dengan mengambil pendekatan n = 1.109, didapatkan π = 3,141592653589793..., akurat hingga 15 angka di belakang koma.

Dari rumusan keliling lingkaran di atas, dapat kita turunkan rumusan luas lingkaran. Perhatikan bahwa luas lingkaran adalah jumlahan luas segmen segitiga. Mengingat tinggi tiap segitiga sama, yakni r = D/2 dan total panjang alas segitiga tidak lain ialah keliling lingkaran, diperoleh

$\small L=\frac{1}{2}[\textup{total\: luas\: alas}]\cdot[\textup{tinggi}]$

$\small L=\frac{1}{2}(\pi D)\left ( \frac{D}{2} \right )=\frac{1}{4}\pi D^2=\pi r^2$

Cara Kalkulus

Cara ini menggunakan teorema kalkulus, yaitu luas daerah di bawah kurva f(x) dari a sampai b sama dengan integral tertutup f(x) dari a ke b. Karena kita telah mengetahui rumus luas lingkaran

$\small L=\pi r^2$

dan menurut teorema di atas tadi,

$\small \frac{L}{2}=\int_{-r}^{r}f(x)\: dx$

Di atas dituliskan L/2, karena luas lingkaran dua kali luas daerah di bawah kurva, yaitu belahan atas dan belahan bawah. Mengingat persamaan lingkaran x² + y² = r², dihasilkan bentuk integral

$\small L=2\int_{-r}^{r}\left (r^2-x^2 \right )^{1/2}\: dx=\pi r^2$

yang memberikan

$\small \pi=\frac{2}{r^2}\int_{-r}^{r}\left (r^2-x^2 \right )^{1/2}\: dx$

Bentuk di atas dapat diselesaikan menggunakan bantuan komputer. Menggunakan Matlab dengan linspace(a,b,n) dan fungsi trapz(x,y), jika diambil n = 1.000.000 didapatkan π = 3,14159265026..., akurat 8 angka di belakang koma. Menurut wikipedia, sampai dengan 50 desimal diperoleh

π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...

Kalau mau lebih teliti, berikut ini nilai π hingga 10.000 digit. Selengkapnya...

Kamis, 04 Agustus 2011

Penyelesaian PDP orde-2 dengan Separasi Variabel

Persamaan Diferensial Parsial (PDP) merupakan oknum yang hampir selalu hadir dalam pelajaran fisika tingkat lanjut, karena banyak fungsi-fungsi di alam yang muncul dalam bentuk seperti itu. Bentuk umum PDP orde-2 ialah:

$\small a\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+2h\frac{\partial^2 U}{\partial x \partial y}+b\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}+2f\frac{\partial U}{\partial x}+2g\frac{\partial U}{\partial y}+eU=\omega$

dengan a, h, b, f, g, e merupakan konstanta. Jika ruas kanannya sama dengan nol, maka persamaannya homogen, begitu pula sebaliknya jika tidak sama dengan nol maka persamaannya tak homogen.

PDP dapat diklasifikasikan dalam tiga jenis, yaitu

tipe eliptik, jika ab - h² > 0;
tipe parabolik, jika ab - h² = 0; dan
tipe hiperbolik, jika ab - h² < 0.

Contoh:

Persamaan gelombang 1 dimensi
$\small \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}=0$
ab - h² = -1/v² < 0 (tipe hiperbolik)
Persamaan Laplace 2 dimensi
$\small \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}=0$
ab - h²=1 > 0 (tipe eliptik)
Persamaan konduksi 1 dimensi
$\small \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} -\frac{1}{k} \frac{\partial U}{\partial x}=0$
ab - h² = 0 (tipe parabolik)

Salah satu metode favorit untuk menyelesaikan PDP ialah dengan menggunakan metode pemisahan (separasi) variabel. Metode lain ialah menggunakan transformasi. Pada postingan kali ini akan dibahas penyelesaian PDP orde-2 menggunakan metode separasi variabel.

Dalam postingan kali ini, akan dijabarkan solusi umum persamaan gelombang 1 dimensi,

$\small \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2}$

di mana U(x,t) ialah fungsi gelombang. Separasi variabel ialah memecah fungsi U menjadi fungsi-fungsi yang memuat satu variabel saja (tiap fungsi),lalu dipisahkan dalam ruas persamaan. Mengingat dalam fungsi U terdapat dua variabel, x dan t, maka fungsi U dipecah menjadi dua fungsi.

$\small U(x,t)=X(x)\cdot T(t)$

sehingga:

$\small \frac{\partial(X \cdot T)}{\partial x^2}=\frac{1}{v}\frac{\partial(X \cdot T)}{\partial t^2}$

Mengingat sifat turunan komposit (u.v)'' = u" v + 2 u' v' + u v", diperoleh:

$\small T\frac{\partial^2 X}{\partial x^2}=\frac{X}{v^2} \frac{\partial^2 T}{\partial t^2}$
$\small \frac{v^2}{X}\frac{\partial^2 X}{\partial x^2}=\frac{1}{T} \frac{\partial^2 T}{\partial t^2}=k$

Nilai k di sini merupakan konstanta yang dapat kita tentukan kemudian, dan v² saya letakkan di ruas kiri (di kanan juga nggak apa). Mengingat persamaan umum gelombang U(x,t) = sin(kx - ωt), atau X(x) = sin(kx) dan T(t) = sin(-ωt), dengan mengambil salah satu ruas persamaan di atas (saya ambil ruas kanan) didapatkan:

$\small \frac{\partial^2 T}{\partial t^2}=kT$
$\small \frac{\partial}{\partial t}\sin(-\omega t)=-\omega\: \cos(-\omega t)$
$\small \frac{\partial^2}{\partial t^2}\sin(-\omega t)=\omega(-\omega)\: \sin(-\omega t)=-\omega^2\: \sin(-\omega t)$

jadi diperoleh $\small \partial^2 T/\partial t^2=-\omega^2 T$ , dengan kata lain k = -ω². akhirnya kita dapatkan:

$\small \frac{\partial^2 X}{\partial x^2}+\frac{\omega^2}{v^2}X=0$

$\small \frac{\partial^2 T}{\partial t^2}+\omega^2 T=0$

Solusi umum untuk PDP orde-2:

1. untuk k = 0
$\small \frac{\partial^2 X}{\partial x^2}=0\: ;\; \frac{\partial^2 T}{\partial t^2}=0$
Jelas hanya persamaan linear yang turunan ke-2-nya 0, maka solusinya:
$\small X(x)=Ax+B$
$T(t)=Ct+D$

2. untuk k > 0;
$\small X(x)=Ae^{x\sqrt{k}/v}+Be^{-x\sqrt{k}/v}=A\cosh \frac{x\sqrt{k}}{v}+B\sinh \frac{x\sqrt{k}}{v}$
$\small T(t)=Ce^{t\sqrt{k}}+De^{-t\sqrt{k}}=C\cosh (t\sqrt{k})+D\sinh (t\sqrt{k})$

3. untuk k < 0;

Untuk kasus untuk k < 0, langsung kita substitusikan k = -ω².

$\small X(x)=Ae^{ix\omega/v}+Be^{-ix\omega/v}=A\cos \left (\frac{\omega x}{v} \right )+B\sin \left (\frac{\omega x}{v} \right )$
$\small T(t)=Ce^{it\omega}+De^{-it\omega}=C\cos (\omega t)+D\sin (\omega t)$

Mengingat U(x,t) = X(x) T(t), didapatkan solusi umumnya

$\small U(x,t)=\left [ A\cos \left (\frac{\omega x}{v} \right )+B\sin \left (\frac{\omega x}{v} \right ) \right ] \left [ C\cos (\omega t)+D\sin (\omega t) \right ]$

Dalam suatu problem fisika, tertadapat syarat-syarat batas yang menyebabkan tiap kasus memiliki solusi yang unik. Contohnya akan saya posting lain kali.

catatan: bedakan k tetapan gelombang dan k konstanta biasa ^^.

Selengkapnya...

p a r a d o k s

Laman

Sabtu, 13 Agustus 2011

Persamaan Friedmann, Rapat Kritis dan Radius Alam Semesta

Selasa, 09 Agustus 2011

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Vektor Eigen

Lampiran:

Pustaka:

Menghitung nilai π

Kamis, 04 Agustus 2011

Penyelesaian PDP orde-2 dengan Separasi Variabel

Daftar Bacaan Saya

Entri Populer Bulan Ini