Geodesik: Jarak Terpendek adalah Garis Lengkung?

Dalam kuliah fismat dipelajari bahwa jarak terpendek ialah garis lengkung menggunakan kuadrat elemen garis. Nah, sekarang akan saya ambil model lain dalam kehidupan nyata dan menjabarkannya menggunakan cara lain, astronomi bola. Sebelum membuktikan solusi dari problem ini, ada baiknya kita membahas terlebih dahulu mengenai astronomi bola.

Segitiga bola ialah segitiga yang dibentuk oleh busur-busur lingkaran besar. Yang dimaksud lingkaran besar ialah lingkaran yang berpusat pada pusat bola. Persamaan cosinus untuk segitiga bola ialah:

\begin{align} \cos a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos A \label{cos} \end{align}

Oke, kita akan membuktikan ini terlebih dahulu (kalau sudah tahu dilangkahi saja). Gambarkan segitiga bola (ABC) seperti di bawah ini, kemudian segitiga planar (ADE) sebagai proyeksi segitiga bola tadi. Ingat busur di depan sudut \(A\) diberi nama \(a\), dan seterusnya. Perhatikan bahwa \(\angle DAE = A\) dan \(\angle DOE = a\) .

Pada ΔDAE kita dapatkan:

\begin{align} \overline{DE}^2 = \overline{AD}^2 + \overline{AE}^2 - 2\overline{AD} \cdot \overline{AE} \cdot \cos A \label{p1} \end{align}

Pada ΔDOE kita dapatkan:

\begin{align} \overline{DE}^2 = \overline{OD}^2 + \overline{OE}^2 - 2\overline{OD} \cdot \overline{OE} \cdot \cos a \label{p2} \end{align}

Menyamakan persamaan (\ref{p1}) dengan (\ref{p2}), didapatkan

\begin{align} 2\overline{OD} \cdot \overline{OE} \cdot \cos a = (\overline{OD}^2-\overline{AD}^2)+(\overline{OE}^2-\overline{AE}^2) + 2\overline{AD}\cdot \overline{AE} \cdot \cos A \label{p3} \end{align}

Sekarang perhatikan ΔDAO dan ΔOAE. Nampak dipenuhi jalinan:

\begin{align} \overline{OD}^2-\overline{AD}^2 &= \overline{AO}^2 \nonumber \\
\overline{OE}^2-\overline{AE}^2 &= \overline{AO}^2 \nonumber \end{align}

Menyulihkan jalinan di atas ke dalam persamaan (\ref{p3}), menghasilkan

\begin{align} \overline{OD}\cdot \overline{OE}\: \cos a = \overline{AO}^2 + \overline{AD} \cdot \overline{AE}\: \cos A \nonumber \end{align}

atau

\begin{align} \cos a=\frac{\overline{OA}}{\overline{OD}} \cdot \frac{\overline{OA}}{\overline{OE}}+\frac{\overline{AD}}{\overline{OD}} \cdot \frac{\overline{AE}}{\overline{OE}}\: \cos A \label{p5} \end{align}

Pada ΔDAO, \(\frac{\overline{OA}}{\overline{OD}}\) ialah cosinus dari sudut \(\angle DOA\) dan \(\frac{\overline{AD}}{\overline{OD}}\) merupakan sinus dari sudut yang sama. Mengingat \(\angle DOA=c\), maka \(\frac{\overline{OA}}{\overline{OD}} = \cos c\) dan \(\frac{\overline{AD}}{\overline{OD}} = \sin c\). Begitu pula didapatkan \(\frac{\overline{OA}}{\overline{OE}} = \cos b\) dan \(\frac{\overline{AE}}{\overline{OE}} = \sin b\). Menyulihkan kesamaan-kesamaan ini ke dalam persamaan (\ref{p5}), diperoleh jalinan (\ref{cos}),

\begin{align} \cos a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos A\nonumber \end{align}

Nah, sekarang waktunya membuktikan jarak terpendek (geodesik) pada permukaan lengkung ialah garis lengkung pada proyeksinya. Perhatikan gambar.

Misalkan kota Kentut (\(G\)) dan Sendawa (\(L\)) yang lintangnya hampir sama sekitar \(30^{\circ}\) Lintang Selatan dan bujur kota Kentut \(100^{\circ}\) BT sedangkan bujur kota Sendawa \(140^{\circ}\) BT. Kita dapatkan \(\phi = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}\) dan \(\theta = 140^{\circ} - 100^{\circ} = 40^{\circ}\). Dengan radius planet \(R=6371\) km, jika kita menempuh jalur lurus sepanjang lintangnya, maka didapatkan jarak

\begin{align} r_1 = \frac{\theta }{360^{\circ}}2\pi R'= \frac{\theta }{360^{\circ}}2\pi R\: \sin \phi \nonumber \end{align}

Dengan memasukkan nilai didapatkan \(r_1 = 3851,9\) km.

Sekarang akan dihitung panjang lintasan geodesiknya. Jika kita menggunakan segitiga bola, maka sudut \(a\) ialah:

\begin{align} \cos a &= \cos \phi \: \cos \phi + \sin \phi\: \sin \phi\: \cos \theta \nonumber \\
a &= \cos^{-1}\left ( \cos^2 \phi + \sin^2 \phi\: \cos \theta \right ) \nonumber \end{align}

Dengan demikian jarak kota Kentut dan kota Sendawa jika melalui lingkaran besar ialah

\begin{align} r_2 = \frac{a}{360^{\circ}}2\pi R \nonumber \end{align}

Dengan memasukkan nilai didapatkan \(r_2 = 3831,6\) km, yang mana lebih pendek dari \(r_1\).

Jadi agar dapat menempuh jarak terpendek, alih-alih berjalan "lurus" sepanjang lintang, akan lebih pendek jika "berbelok" dulu ke selatan kemudian belok kembali ke utara.

Pustaka: Astronomy, Principle and Practice. A. E. Roy and D. Clarke.

Lihat juga:

Luna, Segitiga Bola, dan Teorema Girard.
Selengkapnya...

Missing Square Puzzle (64 = 65)

         Ungkapan sebelas-duabelas tentunya sudah lazim terdengar di telinga kita. Ya, ungkapan yang bermakna beda tipis ini begitu cerdas menurut saya, begitu pula penemu problem yang sama sekali tidak lucu ini, Missing square puzzle. Kalau sebelas dan dua belas saja beda tipis, apalagi 64 dan 65, Perhatikan puzzle di bawah ini, ada puzzle yang hilang pada gambar segitiga bawah padahal keduanya nampak identik (diambil dari en.wikipedia):

        Meskipun kalau kita teliti baik-baik sebenarnya mudah saja untuk memecahkan problem yang tidak lucu ini, keheranan yang berlebihan daripada rasa ingin tahu biasanya membuat kita tidak mampu memecahkannya. Bahkan rekan saya Yoko rambutnya hampir jatuh terkulai melihat puzzle ini :).

        Oke, mari kita pecahkan puzzle ini! Kuncinya adalah ungkapan yang saya paparkan tadi, sulit membedakan 64 biji apel dan 65 biji apel dalam sepintas, apalagi luasan. Sekarang perhatikan bangun-bangun bagian dari segitiga siku-siku pada kedua gambar (dua bentuk L dan dua segitiga siku-siku), amati dengan teliti, dan ternyata kesemuanya identik. Namun, jika kita mengamati segitiga siku-siku besar pada gambar atas dan bawah (terhitung pecahan yang raib), ternyata keduanya tidak identik.

        Gradien dari sisi miring (semestinya rusuk miring) pada segitiga merah ialah 3/8 = 0,375, sedangkan pada segitiga biru 2/5 = 0,4. Keduanya berbeda, jadi jelas pada segitiga besar pada kedua gambar sisi miringnya tidaklah lurus, melainkan bengkok. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini, yang sudah dilebih-lebihkan.

        Panjang A1B1 = A2B2, B1C1 = B2C2, A1D1 = C2D2, dan C1D1 = A2D2. Jelas segitiga bagian atas lebih sempit bukan? jadi silakan lakukan kalkulasi, luas segitiga bawah pada gambar atas dikurangi satu kotak tepat sama dengan luas segitiga atas (pada gambar atas).

Selengkapnya...

Volum Limas/Kerucut Terpancung Miring

Yang lalu pada postingan mengenai volume kerucut terpancung, saya memberikan problem jika kerucut terpancung miring. Ternyata setelah mencakar berlembar-lembar saya tetap tidak mendapatkan solusinya menggunakan kalkulus. Namun menggunakan geometri dengan sampel limas persegi, dapat kita generalisasi untuk mendapatkan solusi volume kerucut terpancung miring.

Oke, ambil sampel limas persegi terpancung, ABCD.EFGH

 

Terdapat dua buah limas terpancung (sebagai prisma miring), yang di bawah ABCD.GF dan yang di atas EFGH.DA. Di sini kita mendefinisikan Δs = (s₁ - s₂)/2. Pecah limas menjadi dua bagian, yaitu dua buah prisma miring

Alas dari kedua prisma tadi merupakan bagian dari trapesium KEFL, dengan alas prisma bawah, segitiga KFL:

dan alas prisma atas, segitiga KFE:

A.  Volume prisma bawah

Prisma ABCD.FG ini adalah bagian bawah dari limas yang terpancung miring. Pecah lagi menjadi tiga bagian, seperti gambar di atas, yaitu sebuah prisma segitiga tegak, dengan alas segitiga KFL dan tinggi = t, sehingga volumenya:

kemudian masih terdapat dua limas persegi panjang di bagian kiri dan kanan, keduanya tentu kongruen. Volume keduanya yaitu:

Jadi, volume total prisma bawah, V₁ didapatkan:

B.  Volume prisma atas

Bagian ini adalah bagian atas dari limas yang terpancung miring. Pecah lagi menjadi tiga bagian, seperti gambar di atas, yaitu sebuah prisma segitiga tegak, dengan alas segitiga KFE dan tinggi = t, sehingga volumenya:

Kemudian masih terdapat dua limas segitiga yang kongruen, salah satunya limas A.KFE yang luas alasnya sama dengan segitiga KFE dan tinggi = AK = Δs, volume keduanya ialah:

Jadi, volume total prisma atas, V₂ didapatkan:

Volume total keduanya V₁ + V₂, haruslah sama dengan volume limas terpancung yang telah didapatkan pada posting yang lalu. Kita coba jumlahkan

Ternyata sudah sesuai.

Bila irisan limas tidak sampai menyentuh dasar (di AD pada gambar di atas), maka volume irisan bawah limas terpancung miring dapat diperoleh dengan mengukur volume segmen limas terpancung paling bawah (misal namakan V₀) ditambah V₁. Demikian pula volume irisan atas limas terpancung miring dapat diperoleh dengan mengukur volume segmen limas paling bawah (misal namakan V₃) ditambah V₂.

Dari hasil yang telah kita peroleh di atas, dapatlah dilakukan generalisasi untuk mendapatkan volume segmen bawah kerucut terpancung miring:

Di mana r₀, r₁ dan r₂ merupakan radius lingkaran dan t₀ dan t₁ ialah tinggi tiap segmen (lihat gambar di bawah). Perbandingan t₀ dan t₀ terhadap tinggi total limas sebelum dipancung, t_lim dapat diperoleh dengan perbandingan segitiga. Dengan demikian, problem lanjut pada postingan volume kerucut terpancung dapat diselesaikan.

 

Baca juga:
Volum kerucut terpancung
Volum limas terpancung
Contoh soal mengenai limas terpancung miring
Selengkapnya...

Volum Limas Terpancung

        Yang lalu saya telah membahas mengenai volum kerucut terpancung dengan menggunakan kalkulus, sekarang saya akan membahas volum limas terpancung. Kali ini saya akan menyelesaikannya dengan geometri aritmetik. Agar lebih variatif, saya mengambil limas segi empat, seperti pada gambar berikut:

        Perhatikan bahwa t = t ₁ - t ₂. Menggunakan rumus perbandingan segitiga, didapatkan:

sehingga

Volum prisma terpancung, V ialah:

        Perhatikan persamaan di atas identik dengan volum kerucut terpancung, berhubung kerucut ialah limas segi-tak-hingga. Secara umum untuk limas segi berapapun, persamaan volum ini dapat kita tuliskan:

dengan L₁ dan L₂ luas alas dan tutup limas terpancung.


Baca juga:

Volum kerucut terpancung

Volum limas/kerucut terpancung miring

Contoh soal mengenai limas terpancung miring

Selengkapnya...

Panjang Busur Helix

Helix merupakan geometri satu dimensi yang eksis dalam tiga dimensi. Helix memiliki bentuk dasar berupa lingkaran. Berbeda dari spiral yang "diekspansi" dalam bidang-XY, heliks "ditarik" ka arah sumbu-Z dengan parameter baru, c. Anggap radius lingkaran dasar dari helix ialah a dan selang/jarak point-point yang berbeda sudut 2π radian kita sebut c, maka persamaan parameter helix dapat dinyatakan dengan:

\begin{align} x &= a \cos \theta \nonumber \\
y &= a \sin \theta \nonumber \\
z &= c \theta \nonumber \end{align}

Dengan menggunakan kalkulus, panjang kurva dengan metode parameterisasi dinyatakan dalam

$$ s=\int_{b}^{a}\sqrt{\left ( \frac{dx}{d\theta}\right )^2+\left ( \frac{dy}{d\theta}\right )^2+\left ( \frac{dz}{d\theta}\right )^2}\: d\theta $$

Sehingga dapat kita hitung panjang busur dari helix dari \(\theta=0\) hingga \(\theta'\) ialah

\begin{align} s &= \int_{0}^{\theta'} \sqrt{(-a \sin \theta)^2+(a \cos \theta)^2+c^2}\: d\theta \nonumber \\
&= \int_{0}^{\theta'}\sqrt{a^2+c^2}\: d\theta \nonumber \\
&= \left [ \theta \sqrt{a^2+c^2} \right ]_0^{\theta'} \nonumber \end{align}

Perhatikan persamaan di atas, \(\frac{ds(\theta)}{d\theta} =\) konstan sehingga variasi panjang kurva terhadap nilai \(\theta\) selalu tetap. Artinya, panjang kurva dari suatu heliks dalam selang \(\Delta\theta\) selalu sama dengan dua kali panjang kurvanya dalam selang \(2\Delta\theta\). Dalam selang \([0,2\pi]\), didapatkan panjang kurva,

$$ s = 2\pi\sqrt{a^2+c^2} $$

Sumber gambar: wikipedia

Lihat juga: Panjang busur spiral

Selengkapnya...