Tanpa saya duga sebelumnya, volum limas terpancung miring menjadi entri yang paling sering dibaca di blog saya, jadi sebagai admin yang baik hati, tidak sombong, rajin menabung, dan buang sampah pada tempatnya, maka saya memberikan sebuah contoh soal untuk volume limas terpancung miring (limas segi empat). Andaikan diberikan suatu limas dengan alas persegi seperti pada gambar di bawah ini:
diketahui:
AB = BC = s0 = 10 cm
EF = FG = s1
IJ = JK = s2
OR = t = 20 cm
OP = t0 = 10 cm
PQ = t1 = 5 cm
QR = t2 = 5 cm
Pertanyaannya ialah berapa volum limas terpancung miring ABCD.EJKH? Dengan mudah kita dapatkan volum bangun ABCD.EJKH sama dengan volum limas terpancung ABCD.EFGH ditambah volum limas terpancung miring EFGH.JK.
Mengingat s0, t0, t1, dan t2 telah diketahui, kita cari terlebih dulu s1 dan s2 menggunakan perbandingan segitiga.
Oke, bagi Anda para pelajar, mungkin Anda diajarkan oleh guru fisika Anda bahwa sinar datang sejajar sumbu utama pada cermin atau lensa cekung/cembung difokuskan di titik fokus, yaitu pada setengah pusat kelengkungan (pusat kelengkungan ialah pusat bola jika cermin diperbesar sudut ruangnya). Ternyata yang terjadi sebenarnya tidaklah demikian, tidak ada mekanisme yang menyebabkan seluruh sinar terfokus pada setengah pusat kelengkungan. Mari kita tinjau, ambil sampel yang mudah, cermin cekung dan sinar sejajar sumbu utama.
Sinar datang dari C sejajar sumbu utama. Karena , dan mengingat hukum pemantulan sinar maka . Jadi untuk θ tidak sama dengan nol, bayangan tidak tepat di titik fokus. Bayangan difokuskan dekat titik fokus hanya jika sudut θ kecil, yaitu jika cahaya datang dekat dengan sumbu tegak lensa (PO) sehingga , jadi θ ≈ α.
Kita coba hitung persamaannya menggunakan aturan cosinus.
Gunakan lagi aturan sinus pada segitiga PfX.
Kita selesaikan,
Jadi jelas untuk θ<< (cosθ ≈ 1), sudut α ≈ θ, atau bayangan jatuh di sekitar fokus (P/2), sedangkan jika θ >>, α menjadi lebih kecil daripada θ. Oleh karena itu, pada cermin atau lensa cekung/cembung selalu digunakan busur yang sempit, karena cermin atau lensa dengan busur yang besar (apalagi kalau sampai setengah bola) tidak akan berguna karena bayangan tidak akan terfokus dengan baik. Peristiwa ini disebut aberasi sferis.
Perhatikan grafik di bawah ini. Dengan memasukkan persamaan terakhir ke dalam Matlab, dapat kita plot grafik yang menyatakan nisbah α dan θ (ungu) dan garis α = θ (hijau) sebagai pembanding. Dengan mudah kita lihat bahwa α ≈ θ hanya pada θ < 0,2 radian atau sekitar 10°. Oleh karena itu sudut pusat cermin atau lensa (dari pusat ke pinggir) tidak pernah lebih dari 10°.
Dalam termodinamika statistik, dikenal statistik Maxwell-Boltzmann yaitu statistik bagi partikel-partikel terbedakan (meskipun memiliki massa dan muatan yang sama). Statistik ini memberikan distribusi partikel yang tidak saling berinteraksi dan dapat diberikan dalam bobot statistik,
\begin{align}
W = N!\prod_{j}^{ }\frac{g_j^{N_j}}{N_j!} \label{Wmb}
\end{align}
dengan fungsi statistik \(g_j = N_j e^{-(\alpha + \beta \epsilon)}\). Menggunakan aproksimasi stirling, \(\ln (x!) \approx x \ln x - x\), diperoleh
Dengan menyulihkan persamaan (\ref{Z0}), (\ref{F0}), ke dalam persamaan (\ref{S0}), diperoleh entropi sistem tertutup:
\begin{align}
S &= Nk\left \{ \ln \left [ \frac{V(2 \pi mkT)^{3/2}}{h^3}\right ] + \frac{3}{2}\right \} \label{S2} \\
&= k \ln W \label{SW}
\end{align}
Nah, andaikan dua buah sistem identik (jenis gas identik, suhu identik, volum dan jumlah partikel identik) maka entropi pada kedua sistem itu adalah sama, \(S_1 = S_2 = S\). Seandainya kedua sistem tertutup tadi berdekatan dan hanya dipisahkan oleh suatu sekat, berapakah entropi totalnya jika sekat dilepaskan? Sebelumnya kita definisikan dulu besaran ekstrinsif dan besaran intrinsif. Besaran ekstrinsif meningkat dengan faktor yang sama dengan pertambahan ukuran sistem, sedangkan besaran intrinsif tidak berubah. Contohnya memasukkan 5 liter air bersuhu 80°C kemudian menambahkan lagi 5 liter air bersuhu sama, maka suhu campuran tetap 80°C. Jadi dapat kita simpulkan bahwa volum (\(V\)), jumlah partikel (\(N\)) dan energi (\(U\)) merupakan besaran ekstrinsif, sedangkan suhu (\(T\)), massa molekul (\(m\)), dan tekanan (\(p\)) merupakan besaran intrinsif. Jadi, jelas bahwa entropi sistem merupakan besaran ekstrinsif.
Setelah sekat dilepaskan, entropi sistem campuran, \(S'\) haruslah sama dengan \(2S\), atau \(\Delta S = S' - S_0 = S' - 2S = 0\). Menggunakan persamaan (\ref{S2}), kita coba hitung perubahan entropi sistem (ingat \(V' = 2V\) dan \(N' = 2N\)).
Ternyata persamaan entropi ini tidak cocok digunakan untuk sistem gas yang identik, ataukah ada yang salah? Pada sistem gas yang tidak identik, pertambahan entropi disebabkan adanya entropi baru akibat pencampuran dua jenis gas sehingga jika sekat kembali dipasang, tiap-tiap molekul gas tidak mungkin terpisah kembali seperti keadaan semula, tetapi jika kedua gas identik tentunya tidak akan ada perbedaan. Jadi dari mana kelebihan entropi sebesar \(2Nk \ln(2)\) itu? Kontradiksi inilah yang dikenal sebagai paradoks Gibb.
Perhatikan lagi jika kedua gas identik maka partikel kedua jenis gas menjadi tidak terbedakan, sehingga dalam statistiknya, penempatan {A,B} dianggap sama dengan {B,A}. Dengan kata lain, pada partikel tidak terbedakan penempatan molekul memenuhi aturan kombinasi, bukan permutasi. Coba buka kembali buku matematika Anda, ternyata:
Sekarang, persamaan entropi untuk gas semi-klasik dapat kita selesaikan. Sekali lagi, menyulihkan persamaan (\ref{Fsk}) dan (\ref{Z0}) ke dalam persamaan (\ref{S0}), diperoleh
Menurut teori Dulong-Petit, panas jenis zat padat ialah konstan. Berdasarkan teori termodinamika, zat padat tersusun atas partikel-partikel yang berlaku sebagai osilator harmonik. Total energi internal partikel yang berosilasi dalam tiga derajat kebebasan memenuhi.
sehingga panas jenis zat padat memenuhi
Ternyata, panas jenis zat hanya konstan pada suhu tinggi. Pada suhu mendekati nol, nilai \(C_V\) semakin kecil hingga menuju nol pada suhu nol mutlak.
Mengikuti Planck, Einstein berasumsi suatu zat padat dapat digambarkan seperti osilator harmonis yang nilainya hanya bisa diskret, \(E = Nh\nu\). Dalam model Einstein, jika semua osilator itu memiliki frekuensi \((\nu)\) yang sama, fungsi partisi dan energi dalam osilator-osilator itu memenuhi:
Karena tiap molekul dalam zat dapat bergerak dalam tiga arah sumbu (tiga derajat kebebasan) maka tiap molekul dianggap sebagai tiga osilator. Mengalikan persamaan di atas dengan tiga, didapatkan
sehingga panas jenisnya
dengan substitusi \(\theta_E=h \nu/k\) dan \(Nk=R\) didapatkan:
Grafiknya dapat digambarkan menggunakan Matlab, berikut skripnya:
% Perhitungan Panas Jenis Zat Padat
% @skaga, 2011
clear;
clc;
t=input('suhu Einstein (theta) = ');
b=input('batas atas = ');
a=input('batas bawah = ');
n=1000;
T=linspace(a,b,n);
C=((t./T).^2).*(exp(t./T))./((exp(t./T)-1).^2);
plot(T,C);
xlabel('temperatur'),ylabel('Cv (kali 3R)');
title('Kurva Panas Jenis Zat Padat (Cv)')
Dengan memasukkan \(\theta_E=1\) (suhu dalam satuan \(\theta_E\), nilai \(\theta_E\) untuk tembaga dan aluminium berkisar 260 K - 270 K) serta rentang suhu antara 0 sampai 3, diperoleh grafik sebagai berikut:
Rumusan Einstein ini bersesuaian dengan pengamatan eksperimen, meskipun terdapat perbedaan saat T mendekati nol, prediksi Einstein menghasilkan kurva yang menukik terlalu tajam. Model Einstein ini kemudian direvisi oleh Debye.
Berikut jawaban soal Olimpiade Astronomi Kabupaten/Kota tahun 2010 (soalnya silakan unduh di laman download). Saya dedikasikan khusus kepada Pak Armanto dan murid bimbingannya, semoga sukses..
No. 1 - 25:
b c c a d e d b c b a b c c d b d d d b a a c b c
2.
H = (65 km/s)/Mpc
ingat 1 Mpc (megaparsec) = 1.000.000 pc, 1 pc = 3,26 tahun cahaya (ly), 1 ly = 9,46 . 10^12 km
H = (65 km/s)/((1.000.000)(3,26)(9,46 . 10^12)km)
H = 2,11 . 10^-18 s^-1
Usia maksimal alam semesta, t = 1/H = 4,74 . 10^17 s = 15 milyar tahun
3.
tan δ = D/d, di mana δ diameter sudut, D diameter dan d jarak
untuk Bulan, D/d = (1/4)/1 = 1/4
untuk Matahari, D/d = 100/(1/400) = 1/4
Jadi diameter sudut Bulan dan Matahari nampak sama dari Bumi (terbukti dengan pengamatan kan?), jadi gambar yang cocok ialah gambar C.
4.
Reaksi fusi dalam inti Matahari melibatkan reaksi berantai, jika diringkaskan menjadi:
4 Hidrogen -> 1 Helium + neutrino + energi
5.
T1 = 5800 - 1500 = 4300 K
T2 = 5800 K
B = T4
(B2/B1) = (T2/T1)4 = (5800/4300)4 = 3,31
6.
Hanya planet inferior yang dapat mengalami perubahan fase karena posisinya bisa berada di antara Bumi dan Matahari.
8.
HA = LST - α + t
jika berada di zenit, berarti HA = 00.00 dan LST = 00.00
t = HA - LST + α
t = 00.00 - 00.00 + 14.00
t = 14.00 waktu lokal (WIB) = 15.00 WITA
10.
Sebenarnya ada dua kemungkinan yang dimaksudkan dalam soal. Jika dimaksudkan periode, maka bentuk elips memiliki periode terpanjang. Bentuk hiperbola mengakibatkan komet yang mendekat ke Matahari kemudian balik menjauh dan tidak kembali, jadi tidak bisa dikatakan periode.
11.
(K/2) + D = 20 AU
(πD/2 + D) = 20 AU
D(π/2 + 1) = 20 AU
D = 7,70 AU
L/2 = ½(¼πD²) = 23,77 AU
12. Dari survei cacah bintang yang dilakukan pada empat daerah diperoleh jumlah bintang pd masing2 daerah adalah a,b,c,dan d. hub keempatx adlah
ab+cd= 38
ac+bd= 34
ad+bc= 43
berapa jumlah total bintang (a+b+c+d)
ab + ac + ad + bc + bd + cd = 38 + 34 + 43
a(b + c + d) + b(c + d) + cd =115
ab + a(c + d) + b(c + d) + cd = 115
ingat ab + cd = 38
a(c + d) + b(c + d) = 77
(c + d)(a + b) = 77
77 memiliki faktor 1, 7, 11, berarti (c+d)(a+b) = 7*11 atau 11*7
jadi a + b + c + d = 7+11 = 18
mungkin ada cara lain yang lebih bagus..
13.
Perhatikan gambar:
x + 90º + 26º + x = 180º
jadi x = 32º
14.
Suatu pengolah sinyal radio teleskop mengubah sinyal masukan x menjadi keluaran f(x) menurut aturan f(x)= px+q jk keluarannya dimasukkan kembali menjadi masukan sebanyak dua kali maka keluaran terakhir menjadi f(f(f(x))) = 8x+21, dan jk p dan q bilangan real, maka p+q sama dengan....
.
f(x) = px + q
masukkan fungsi tiga kali
f(f(f(x))) .= p(p(px + q) + q) + q)
8x + 21 = p(p²x + pq + q) + q
8x + 21 = p³x + p²q + pq + q
perhatikan pada ruas kiri koefisien x pada 8x dan pada ruas kanan p³x, berarti keduanya sama
p³x = 8x; p = 2
selanjutnya
p²q + pq + q = 21
4q + 2q + q = 21
7q = 21
q = 3
jadi p + q = 2 + 3 = 5
15.
y = √3 (x - 1)
gradien, m = y/x
θ1 = arctan m1 = 60
karena BD membagi dua sudut sama besar, berarti θ2 = 30
m = tan 30 = √3 /3, jadi persamaan garisnya
y2 = (1/3)√3(x - 1), untuk x = 13 didapatkan
y = (1/3)√3(13 - 1) = 4√3
16
Panjang rusuk persegi, s = 14 cm. Asumsikan pusat lingkaran di O. Perhatikan panjang garis x dapat dicari dengan Pythagoras, yaitu:
x = √(14² + 7²) = √245
Tentulah garis OA dan OE merupakan radius lingkaran, R.
Sudut OEA = OAE. Dengan menggunakan cosinus, didapatkan cos(OEA) = s/x, memasukkan nilai s = 14 cm dan x = √245 cm didapatkan OEA = OAE = 26º,565
Karena AOE segitiga, maka sudut AOE = θ = 180º - 26º,565 - 26º,565 = 126º,87.
Perhatikan segitiga AOE, berlaku aturan cosinus
c² = a² + b² -2ab cos C
x² = R² + R² - 2R² cos θ
x² = 2R² - 2R² cos θ
x² = 2R² (1 - cos θ)
R = √(x²/(2*(1-cos θ)))
R = √(245/(2*(1-cos 126º,87)))
R = 8,75 cm
jawab (B)
17.
Pukul 16.00; 1 jam = 360/24 = 15°, jadi jarak zenit pada pukul 16.00 = (16.00 - 12.00)*15° = 60°
s' = s tan 60
s' = 150√3
18.
R = 1 AU = 149,6 juta km = 1,496 . 10^11 m.
T = 365,25 hari = 31 557 600 s
a = v²/R = 4π²R/T² = 0,006 m/s²
19. Seorang astronom terbang dg mnumpang pswat lngsung dr kota A jm 10.15 n tiba d kota B jm 15.45. esoknya ia plang dr kota B jam 7.20 n tb d kota A jm 09.05 dg pswat yg sama. berapa perbedaan wktu wil antara kota A dan B? a. 1 jam, A lebih timur daripada B b. 1 jam, A lebih barat daripada B c. 1 1/2 jam, A lebih timur daripada B d. 1 1/2 jam, A lebih barat daripada B e. 2 jam, A lebih timur dari B
Jika peritungan menurut waktu setempat:
dari A ke B = 15.45 - 10.15 = 05.30
dari B ke A = 09.50 - 7.20 = 02.30
nah, pikirkan suatu koreksi waktu, c (perbedaan zona waktu, sehingga)
a + c = 05.30 ...... (1)
a - c = 02.30 ....... (2)
persamakan (1) dan (2)
05.30 - c - c = 02.30
03.00 = 2c
c = 01.30
jadi selisih zona waktu = 1 1/2 jam
karena "waktu" A ke B lebih "lama", berarti A lebih barat (D). Ingat waktu di daerah timur lebih maju daripada sebelah baratnya.
21.
Tahun kabisat kalender Gregorian jika:
a. untuk tahun abad (habis dibagi 100) habis dibagi 400.
b. untuk tahun yang bukan tahun abad, habis dibagi 4
Perhatian! Semua tulisan pada blog ini merupakan karya intelektual admin baik dengan atau tanpa literatur, kecuali disebutkan lain. Admin berterima kasih jika ada yang bersedia menyebarkan tulisan-tulisan atau unggahan lain di blog ini dengan tetap mencantumkan sumber artikel. Pemuatan ulang di media online mohon untuk diberikan tautan/link sumber. Segala bentuk plagiasi merupakan pelanggaran hak cipta.
