p a r a d o k s

Minggu, 06 Februari 2011

Volum Limas/Kerucut Terpancung Miring

Yang lalu pada postingan mengenai volume kerucut terpancung, saya memberikan problem jika kerucut terpancung miring. Ternyata setelah mencakar berlembar-lembar saya tetap tidak mendapatkan solusinya menggunakan kalkulus. Namun menggunakan geometri dengan sampel limas persegi, dapat kita generalisasi untuk mendapatkan solusi volume kerucut terpancung miring.

Oke, ambil sampel limas persegi terpancung, ABCD.EFGH

Terdapat dua buah limas terpancung (sebagai prisma miring), yang di bawah ABCD.GF dan yang di atas EFGH.DA. Di sini kita mendefinisikan Δs = (s₁ - s₂)/2. Pecah limas menjadi dua bagian, yaitu dua buah prisma miring

Alas dari kedua prisma tadi merupakan bagian dari trapesium KEFL, dengan alas prisma bawah, segitiga KFL:

$L_{\textup{KFL}}=\frac{s_1\: t}{2}$

dan alas prisma atas, segitiga KFE:

$L_{\textup{KFE}}=\frac{s_2\: t}{2}$

A. Volume prisma bawah

Prisma ABCD.FG ini adalah bagian bawah dari limas yang terpancung miring. Pecah lagi menjadi tiga bagian, seperti gambar di atas, yaitu sebuah prisma segitiga tegak, dengan alas segitiga KFL dan tinggi = t, sehingga volumenya:

$V=\textup{Luas alas}\cdot\textup{tinggi}$

$V=L_{\textup{KFL}}\cdot s_2$

$V=\frac{s_1t}{2}s_2=\frac{1}{2}s_1s_2t$

kemudian masih terdapat dua limas persegi panjang di bagian kiri dan kanan, keduanya tentu kongruen. Volume keduanya yaitu:

$V=2\cdot V_{\textup{F.ABLK}}$

$V=2\cdot \frac{\Delta s\: s_1\: t}{3}=2\: \frac{s_1-s_2}{2}\: \frac{s_1t}{3}=\frac{1}{3}t\left ( s_1^2-s_1s_2 \right )$

Jadi, volume total prisma bawah, V₁ didapatkan:

$V_1=\frac{s_1s_2t}{2}+\frac{1}{3}t(s_1^2-s_1s_2)$

$V_1=\frac{1}{3}t\left ( s_1^2+\frac{s_1s_2}{2} \right )$

B. Volume prisma atas

Bagian ini adalah bagian atas dari limas yang terpancung miring. Pecah lagi menjadi tiga bagian, seperti gambar di atas, yaitu sebuah prisma segitiga tegak, dengan alas segitiga KFE dan tinggi = t, sehingga volumenya:

$V=L_{\textup{KFE}}\cdot s_2$

$V=\frac{s_2\: t}{2}s_2=\frac{1}{2}s_2^2\: t$

Kemudian masih terdapat dua limas segitiga yang kongruen, salah satunya limas A.KFE yang luas alasnya sama dengan segitiga KFE dan tinggi = AK = Δs, volume keduanya ialah:

$2\cdot V_{\textup{A.KFE}}=2\frac{L_{\textup{KFE}}\cdot \overline{AK}}{3}$

$2\cdot V_{\textup{A.KFE}}=2\: \frac{1}{3}\: \frac{s_2t}{2}\: \Delta s=\frac{1}{6}t(s_1s_2-s_2^2)$

Jadi, volume total prisma atas, V₂ didapatkan:

$V_2=\frac{s_2^2\: t}{2}+\frac{1}{6}t(s_1s_2-s_2^2)$

$V_2=\frac{1}{6}ts_1s_2+\frac{1}{3}ts_2$

$V_2=\frac{1}{3}t\left ( s_2^2+\frac{s_1s_2}{2} \right )$

Volume total keduanya V₁ + V₂, haruslah sama dengan volume limas terpancung yang telah didapatkan pada posting yang lalu. Kita coba jumlahkan

$V_1+V_2=\frac{1}{3}t\left ( s_1^2+\frac{s_1s_2}{2} \right )+\frac{1}{3}t\left ( s_2^2+\frac{s_1s_2}{2} \right )$

$V_1+V_2=\frac{1}{3}t\left ( s_1^2+s_1s_2+s_2^2 \right )$

Ternyata sudah sesuai.

Bila irisan limas tidak sampai menyentuh dasar (di AD pada gambar di atas), maka volume irisan bawah limas terpancung miring dapat diperoleh dengan mengukur volume segmen limas terpancung paling bawah (misal namakan V₀) ditambah V₁. Demikian pula volume irisan atas limas terpancung miring dapat diperoleh dengan mengukur volume segmen limas paling bawah (misal namakan V₃) ditambah V₂.

Dari hasil yang telah kita peroleh di atas, dapatlah dilakukan generalisasi untuk mendapatkan volume segmen bawah kerucut terpancung miring:

$V_1=V_0+V_1=\frac{\pi}{3} t_0\left ( r_0^2+r_0r_1+r_1^2 \right )+\frac{\pi}{3}t_1\left ( r_1^2+\frac{r_1r_2}{2} \right )$

Di mana r₀, r₁ dan r₂ merupakan radius lingkaran dan t₀ dan t₁ ialah tinggi tiap segmen (lihat gambar di bawah). Perbandingan t₀ dan t₀ terhadap tinggi total limas sebelum dipancung, t_lim dapat diperoleh dengan perbandingan segitiga. Dengan demikian, problem lanjut pada postingan volume kerucut terpancung dapat diselesaikan.

Sabtu, 05 Februari 2011

Volum Limas Terpancung

Yang lalu saya telah membahas mengenai volum kerucut terpancung dengan menggunakan kalkulus, sekarang saya akan membahas volum limas terpancung. Kali ini saya akan menyelesaikannya dengan geometri aritmetik. Agar lebih variatif, saya mengambil limas segi empat, seperti pada gambar berikut:

Perhatikan bahwa t = t ₁ - t ₂. Menggunakan rumus perbandingan segitiga, didapatkan:

$\small \frac{s_1}{s_2}=\frac{t_1}{t_2}$

sehingga

$\small t_2=t_1\frac{s_2}{s_1}$

$\small t=t_1-t_2=t_1-t_1\frac{s_2}{s_1}=t_1\left (1-\frac{s_2}{s_1} \right )$

$\small t_1=\frac{t}{1-\frac{s_2}{s_1}}$

Volum prisma terpancung, V ialah:

$\small V=V_1-V_2=\frac{1}{3}s_1^2\, t_1-\frac{1}{3}s_2^2\, t_2$

$\small V=\frac{1}{3}t_1\left ( s_1^2-\frac{s_2}{s_1}s_2^2 \right )$

$\small V=\frac{1}{3}\frac{t}{1-\frac{s_2}{s_1}}\left ( s_1^2-\frac{s_2^3}{s_1} \right )$

$\small V=\frac{1}{3}\frac{t\, s_1}{s_1-s_2}\left ( \frac{s_1^3-s_2^3}{s_1} \right )$

$\small V=\frac{1}{3}\, t\, \frac{s_1^3-s_2^3}{s_1-s_2}$

$\small V=\frac{1}{3}\, t\, \frac{(s_1^2+s_1s_2+s_2^2)(s_1-s_2)}{s_1-s_2}$

$\small V=\frac{1}{3}\, t\, (s_1^2+s_1s_2+s_2^2)$

Perhatikan persamaan di atas identik dengan volum kerucut terpancung, berhubung kerucut ialah limas segi-tak-hingga. Secara umum untuk limas segi berapapun, persamaan volum ini dapat kita tuliskan:

$\small V=\frac{1}{3}\, t\, (L_1+\sqrt{L_1L_2}+L_2)$

dengan L₁dan L₂ luas alas dan tutup limas terpancung.

Baca juga:

Volum kerucut terpancung

Volum limas/kerucut terpancung miring

Contoh soal mengenai limas terpancung miring

Selengkapnya...

Jumat, 04 Februari 2011

Panjang Busur Helix

Helix merupakan geometri satu dimensi yang eksis dalam tiga dimensi. Helix memiliki bentuk dasar berupa lingkaran. Berbeda dari spiral yang "diekspansi" dalam bidang-XY, heliks "ditarik" ka arah sumbu-Z dengan parameter baru, c. Anggap radius lingkaran dasar dari helix ialah a dan selang/jarak point-point yang berbeda sudut 2π radian kita sebut c, maka persamaan parameter helix dapat dinyatakan dengan:

\begin{align} x &= a \cos \theta \nonumber \\
y &= a \sin \theta \nonumber \\
z &= c \theta \nonumber \end{align}

Dengan menggunakan kalkulus, panjang kurva dengan metode parameterisasi dinyatakan dalam

$$ s=\int_{b}^{a}\sqrt{\left ( \frac{dx}{d\theta}\right )^2+\left ( \frac{dy}{d\theta}\right )^2+\left ( \frac{dz}{d\theta}\right )^2}\: d\theta $$

Sehingga dapat kita hitung panjang busur dari helix dari $\theta=0$ hingga $\theta'$ ialah

\begin{align} s &= \int_{0}^{\theta'} \sqrt{(-a \sin \theta)^2+(a \cos \theta)^2+c^2}\: d\theta \nonumber \\
&= \int_{0}^{\theta'}\sqrt{a^2+c^2}\: d\theta \nonumber \\
&= \left [ \theta \sqrt{a^2+c^2} \right ]_0^{\theta'} \nonumber \end{align}

Perhatikan persamaan di atas, $\frac{ds(\theta)}{d\theta} =$ konstan sehingga variasi panjang kurva terhadap nilai $\theta$ selalu tetap. Artinya, panjang kurva dari suatu heliks dalam selang $\Delta\theta$ selalu sama dengan dua kali panjang kurvanya dalam selang $2\Delta\theta$. Dalam selang $[0,2\pi]$, didapatkan panjang kurva,

$$ s = 2\pi\sqrt{a^2+c^2} $$

Sumber gambar: wikipedia

Lihat juga: Panjang busur spiral

Selengkapnya...

Panjang Busur Spiral

Spiral (di sini dimaksudkan spiral Archimedes) dapat dinyatakan dengan fungsi dalam koordinat polar sebagai berikut.

$$ r(\theta)=a\: \theta $$

Bentuknya mirip dengan obat nyamuk, seperti gambar berikut ini (dicomot dari wikipedia).

Di mana $0 < \theta < \infty$, dan $a$ merupakan selang/jarak antara point-point berselisih sudut $2\pi$ radian. Dengan menggunakan kalkulus, kita akan menghitung panjang busur dari spiral dalam selang 0 hingga $\theta$ dapat dinyatakan dengan

\begin{align} s &= \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r(\theta)^2+\left (\frac{dr(\theta)}{d\theta}\right )^2}\: d\theta \nonumber \\
&= \int_{0}^{\theta} \sqrt{a^2\theta^2+a^2}\: d\theta \nonumber \\
&= \int_{0}^{\theta} \sqrt{\theta^2+1}\: d\theta \nonumber \end{align}

Karena tidak dapat diselesaikan dengan cara biasa, kita lakukan substitusi atau pemisalan

$$ \theta=\tan x \rightarrow d\theta=\sec^2 x\: dx $$ $$ \sqrt{\theta^2+1}=\sqrt{\tan^2 x + 1}=\sqrt{\sec^2 x}=\left | \sec x \right |=\sec x $$

Persamaan kita sebelumnya kini menjadi,

\begin{align} s &= a\int_{0}^{\theta} \sqrt{\theta^2+1}\: \sec^2 x\: dx \nonumber \\
&= a\int_{0}^{\theta} \sec^3 x\: dx \nonumber \end{align}

Bentuk integral dari $\sec^3 x$ dapat kita turunkan atau lihat langsung di tabel (^^), yaitu:

$$ \int \sec^3 x\: dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2} \ln\left | \sec x + \tan x \right | + C $$

Untuk penjelasannya silakan klik di sini. Akhirnya kalkulasikan batas integrasinya dan lakukan substitusi balik sebagaimana pemisalan sebelumnya, dan didapatkan

\begin{align} s &= \frac{1}{2}a \left [ \sec x \tan x + \ln(\sec x + \tan x) \right ]_0^\theta \nonumber \\
&= \frac{1}{2}a \left [ \theta\sqrt{\theta^2+1} + \ln(\theta+\sqrt{\theta^2+1}) \right ] \nonumber \end{align}

Selesai..

Lihat juga:
Panjang busur heliks

Selengkapnya...

Kamis, 03 Februari 2011

Γ(½)

Berhubung lagi tidak ada ide dan sedang keranjingan latex, jadi saya posting-posting sembarang saja, Mmm.... kali ini mengenai nilai $\Gamma (1/2)$ [bacanya gamma seperdua]. Fungsi Gamma merupakan bentuk integral tak wajar yang didefinisikan sebagai:

$$ \Gamma (\alpha )=\int_{0}^{\infty} x^{(\alpha -1)}e^{-x}\: dx $$

Sehingga dapat kita cari $\Gamma (1/2)$ yaitu:

$$ \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )=\int_{0}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}}e^{-x}\: dx $$

substitusikan $x = u^2$, sehingga $dx = 2u\: du$, didapatkan:

\begin{align} \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) &= \int_{0}^{\infty} (u^2)^{-\frac{1}{2}}\: e^{-u^2}\: 2u\: du \nonumber \\
&=2 \int_{0}^{\infty} e^{-u^2}\: du \nonumber \end{align}

kuadratkan kedua ruas agar dapat ditransformasi ke koordinat bola:

$$ \left \{ \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) \right \}^2=\left\{2 \int_{0}^{\infty} e^{-u^2}\: du\right\}\left\{2 \int_{0}^{\infty} e^{-v^2}\: dv\right\}=4\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(u^2+v^2)}\: dudv $$

Sekarang lakukan transformasi, mengingat $u^2 + v^2 = r^2$ dan $du\:dv = r\: dr\: d\theta$ sehingga:

\begin{align} \left \{ \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) \right \}^2 &= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty}r e^{-r^2}\: dr\: d\theta \nonumber \\
&= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left [ -\frac{1}{2}e^{-r^2} \right ]^{\infty}_0\: d\theta \nonumber \\
&= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\: d\theta \nonumber \\
&= 4\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi}{2}=\pi \nonumber \end{align}

Akhirnya diperoleh

$$ \Gamma \left (\frac{1}{2} \right ) = \sqrt{\pi} $$ Selesai.

Selengkapnya...