Paradoks Ulang Tahun

        Berapakah jumlah orang yang berulang tahun pada hari yang sama di kelasmu? Berapa peluang dua orang memiliki hari ulang tahun yang sama? Dengan berasumsi satu tahun sama dengan 365 hari (mengabaikan kelebihan hari pada bulan Februari) tentunya peluang agar terdapat dua orang yang berulang tahun pada hari yang sama mencapai 100 % jika terdapat 366 orang. Namun jika kita membicarakan peluang, kita dapat menghitung kemungkinan-kemungkinan dalam peluang tertentu. Paradoks ini mengatakan diperlukan cukup 23 orang agar peluang ada dua orang yang memiliki hari ulang tahun yang sama 50 %. Lho?

        Problem ini dapat diselesaikan dengan metode probabilistik statistik. Jika terdapat 23 orang, berarti ada  ₂₃C₂ = 253 pasangan yang bisa dibentuk. Peluang agar dua orang tidak memiliki ulang tahun yang sama ialah:

• Q = 365/365 × 364/365 × 363/365 × ... × 342/365
• Q = (1/365)²³ × (365 × 364 × 363 × ... × 343)
• Q = 365!/342! × (1/365)²³

 
^{Jika dihitung akan didapatkan 0,49270276, sehingga peluang dua orang memiliki hari ulang tahun yang sama, P = 1 - Q = 0,507297 = 50,7297%.}

         ^{Jika kita mengambil pasangan-pasangan yang ada, yaitu 253, sedangkan peluang dua orang berulang tahun sama, p = 1/365 dan peluang dua orang memiliki dua hari ulang tahun yang berbeda q = 364/365, maka:}

Q = (364/365)²⁵³  = 0,4995 sehingga P = 1 - Q = 1 - 0,4995 = 0,5005 = 50,05 %.  Hasil yang tidak jauh berbeda dengan perhitungan pertama.

Sumber gambar : http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/f/ff/Birthdaymatch.png/450px-Birthdaymatch.png Pustaka : http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem, http://cryptoagi.blogspot.com/2010/01/birthday-paradox.html Selengkapnya...

Aproksimasi Keliling Elips

Menentukan keliling elips ternyata tidak semudah menentukan luasnya. Tidak ada persamaan eksak yang sederhana untuk mencari keliling suatu elips. Ada yang sederhana, tapi tidak eksak, dan yang eksak tidak sederhana, karena berbentuk infinity series yang tentunya dalam penghitungan dilakukan pemotongan suku yang jadinya tidak eksak juga, tapi keteitiannya bisa kita ubah sesuka hati. Penentuan keliling elips penting dalam bidang keteknikan seperti menghitung jumlah material yang diperlukan untuk membuat sebuah tangki beralas elips dan volum cairan di dalamnya. Beberapa rumus keliling elips yang mungkin pernah Anda lihat ialah:

$$K = \pi(a+b)$$ atau $$K = \pi \sqrt{2(a^2 + b^2)}$$

yang sama sekali tidak presisi.

Dalam koordinat kartesian, elips yang berpusat di $P=(x_0,y_0)$ dengan sumbu panjang $a$ dan sumbu pendek $b$ (sudah saya bahas di sini) diperikan oleh persamaan

$$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$

Di mana sumbu panjang elips sejajar sumbu-X. Bila elips berpusat di $(0,0)$, persamaan elips dapat dituliskan sebagai

$$y = b \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}$$

Luas elips didefinisikan sebagai:

$$L = 2\int_{-a}^{a} y(x)\: \mathrm{d}x = 2 \frac{b}{a} \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\: \mathrm{d}x = 2\frac{b}{a}\left ( \frac{\pi a^2}{2} \right )$$ $$L = \pi a b$$

Adapun kelliling elips memenuhi

$$K = 2\int_{-a}^{a} \sqrt{1+\left ( \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} \right )^2}\: \mathrm{d}x$$

yang solusinya tidak dapat diberikan dalam fungsi analitik yang dikenal. Oleh karena itu, keliling elips hanya dapat dihitung menggunakan jumlahan deret atau formula aproksimasi. Salah satu rumus aproksimasi keliling dari Ramanujan ialah sebagai berikut

$$K\approx \pi(a+b)(1+3h/(10+\sqrt{4+3h}\, ))$$

dengan

$$h=\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}$$

Rumus dari Ramanujan di atas sangat teliti untuk eksentrisitas yang tidak begitu besar, tapi cukup melenceng pada elips yang sangat pepat. Dapat dibuktikan bahwa elips dengan eksentrisitas $e = 0$ (lingkaran, $a = b$) kelilingnya akan menjadi $K = \pi(a+b)$, sedangkan jika $e = 1$ kelilingnya akan menjadi $K = 4a$ karena b-nya menjadi nol. Berbagai rumus-rumus aproksimasi dan infinity series untuk keliling elips dapat Anda simak lebih jelas di http://www.numericana.com/answer/ellipse.htm. Persamaan aproksimasi lain yang lebih sederhana (namun lebih tidak teliti, tetapi cukup dapat diandalkan) serta contoh infinity seriesnya ialah:

$$K\approx \pi\sqrt{2\left ( a^2+b^2 \right )-\left ( a-b \right )^2/2}$$ $$K\approx 2a \pi\left [ 1-\left ( \frac{1!!}{2!!} \right )^2e^2-\left ( \frac{3!!}{4!!} \right )^2\frac{e^4}{3}-\left ( \frac{5!!}{6!!} \right )^2\frac{e^6}{5}-... \right ]$$

dengan $e$ eksentrisitas elips, $e = \frac{\sqrt{a²-b²}}{a}$ dan tanda '!!' merupakan operasi faktorial ganda (misal 7!! = 7×5×3×1, atau 8!! = 8×6×4×2). Bagi yang tidak suka repot, berikut program numerik buatan saya yang berbasis spreadsheet untuk memudahkan pekerjaan tanpa perlu ngitung. Silakan di unduh jika mau.

Selengkapnya...

Download file di Scribd tanpa hosting

        Banyak file-file keren bisa didapat dari scribd.com dan kalau mau bisa didownload gratis/tanpa hosting.Begini caranya:

1. Buka halaman scribd tempat file yang ingin Anda download dari scribd, lalu kopi kode filenya (delapan digit angka).
2. Ketikkan di adress bar: http://www.scribd.com/mobile/documents/xxxxxxxx/download?commit=Download+Now&secret_password= (ganti xxxxxxxx dengan kode file)
3. Jendela download akan muncul silakan di download.

        Atau bisa juga ke scribd mobile dulu.

Selengkapnya...

Problem Bulu-bulu Kaki

        Pertanyaan ini datang dari seorang rekan, sebut namanya Aldytia (nama tidak disamarkan) Oke, ini memang suatu misteri yang kelihatannya aneh. Bulu-bulu kaki (lebih tepatnya rambut-rambut kaki) setelah dicukur dan dibiarkan tumbuh lagi sepertinya kelihatan bertambah lebat, itu jika mata tidak menipu kita. Jangan berpikir itu adalah suatu reaksi gaib antara bulu kaki dan pisau silet, dan bagaimanapun jangan membayangkan pori-pori Anda berlipat akibat reaksi itu. 

        Mungkin anggapan ini muncul karena beranalog dengan dahan pohon yang kalau dipotong bakal tambah lebat dan bercabang-cabang. Bukan, pada tumbuhan terdapat hormon auksin yang dihasilkan oleh jaringan meristem apikal (pucuk) yang mengakibatkan dominasi apikal. Memangkas pucuk dahan berarti menghilangkan sebagian besar auksin pada dahan itu, akibatnya tunas-tunas lateral dapat tumbuh dengan leluasanya. Tapi pada rambut tidak ada auksin, jadi bagaimana ini bisa terjadi? Sebenarnya sederhana saja, rambut mamalia berbentuk kerucut panjang, besar di pangkal dan kecil di ujungnya. Saat pertama kali Anda memangkas rambut-rambut kaki sialan itu berarti Anda menghilangkan bagian yang berpenampang kecil. Akibatnya, saat rambut Anda kembali tumbuh, strukturnya akan akan menjadi tebal di ujung dan lebih tebal lagi di pangkalnya. Solusi sederhana untuk mengembalikan bentuk rambut alami Anda adalah dicabut sampai akar, meskipun itu tidak dianjurkan.

Selengkapnya...

Geodesik: Jarak Terpendek adalah Garis Lengkung?

Dalam kuliah fismat dipelajari bahwa jarak terpendek ialah garis lengkung menggunakan kuadrat elemen garis. Nah, sekarang akan saya ambil model lain dalam kehidupan nyata dan menjabarkannya menggunakan cara lain, astronomi bola. Sebelum membuktikan solusi dari problem ini, ada baiknya kita membahas terlebih dahulu mengenai astronomi bola.

Segitiga bola ialah segitiga yang dibentuk oleh busur-busur lingkaran besar. Yang dimaksud lingkaran besar ialah lingkaran yang berpusat pada pusat bola. Persamaan cosinus untuk segitiga bola ialah:

$$\begin{align} \cos a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos A \label{cos} \end{align}$$

Oke, kita akan membuktikan ini terlebih dahulu (kalau sudah tahu dilangkahi saja). Gambarkan segitiga bola (ABC) seperti di bawah ini, kemudian segitiga planar (ADE) sebagai proyeksi segitiga bola tadi. Ingat busur di depan sudut $A$ diberi nama $a$, dan seterusnya. Perhatikan bahwa $\angle DAE = A$ dan $\angle DOE = a$ .

Pada ΔDAE kita dapatkan:

$$\begin{align} \overline{DE}^2 = \overline{AD}^2 + \overline{AE}^2 - 2\overline{AD} \cdot \overline{AE} \cdot \cos A \label{p1} \end{align}$$

Pada ΔDOE kita dapatkan:

$$\begin{align} \overline{DE}^2 = \overline{OD}^2 + \overline{OE}^2 - 2\overline{OD} \cdot \overline{OE} \cdot \cos a \label{p2} \end{align}$$

Menyamakan persamaan ($\ref{p1}$) dengan ($\ref{p2}$), didapatkan

$$\begin{align} 2\overline{OD} \cdot \overline{OE} \cdot \cos a = (\overline{OD}^2-\overline{AD}^2)+(\overline{OE}^2-\overline{AE}^2) + 2\overline{AD}\cdot \overline{AE} \cdot \cos A \label{p3} \end{align}$$

Sekarang perhatikan ΔDAO dan ΔOAE. Nampak dipenuhi jalinan:

$$\begin{align} \overline{OD}^2-\overline{AD}^2 &= \overline{AO}^2 \nonumber \\ \overline{OE}^2-\overline{AE}^2 &= \overline{AO}^2 \nonumber \end{align}$$

Menyulihkan jalinan di atas ke dalam persamaan ($\ref{p3}$), menghasilkan

$$\begin{align} \overline{OD}\cdot \overline{OE}\: \cos a = \overline{AO}^2 + \overline{AD} \cdot \overline{AE}\: \cos A \nonumber \end{align}$$

atau

$$\begin{align} \cos a=\frac{\overline{OA}}{\overline{OD}} \cdot \frac{\overline{OA}}{\overline{OE}}+\frac{\overline{AD}}{\overline{OD}} \cdot \frac{\overline{AE}}{\overline{OE}}\: \cos A \label{p5} \end{align}$$

Pada ΔDAO, $\frac{\overline{OA}}{\overline{OD}}$ ialah cosinus dari sudut $\angle DOA$ dan $\frac{\overline{AD}}{\overline{OD}}$ merupakan sinus dari sudut yang sama. Mengingat $\angle DOA=c$, maka $\frac{\overline{OA}}{\overline{OD}} = \cos c$ dan $\frac{\overline{AD}}{\overline{OD}} = \sin c$. Begitu pula didapatkan $\frac{\overline{OA}}{\overline{OE}} = \cos b$ dan $\frac{\overline{AE}}{\overline{OE}} = \sin b$. Menyulihkan kesamaan-kesamaan ini ke dalam persamaan ($\ref{p5}$), diperoleh jalinan ($\ref{cos}$),

$$\begin{align} \cos a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos A\nonumber \end{align}$$

Nah, sekarang waktunya membuktikan jarak terpendek (geodesik) pada permukaan lengkung ialah garis lengkung pada proyeksinya. Perhatikan gambar.

Misalkan kota Kentut ($G$) dan Sendawa ($L$) yang lintangnya hampir sama sekitar $30^{\circ}$ Lintang Selatan dan bujur kota Kentut $100^{\circ}$ BT sedangkan bujur kota Sendawa $140^{\circ}$ BT. Kita dapatkan $\phi = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ dan $\theta = 140^{\circ} - 100^{\circ} = 40^{\circ}$. Dengan radius planet $R=6371$ km, jika kita menempuh jalur lurus sepanjang lintangnya, maka didapatkan jarak

$$\begin{align} r_1 = \frac{\theta }{360^{\circ}}2\pi R'= \frac{\theta }{360^{\circ}}2\pi R\: \sin \phi \nonumber \end{align}$$

Dengan memasukkan nilai didapatkan $r_1 = 3851,9$ km.

Sekarang akan dihitung panjang lintasan geodesiknya. Jika kita menggunakan segitiga bola, maka sudut $a$ ialah:

$$\begin{align} \cos a &= \cos \phi \: \cos \phi + \sin \phi\: \sin \phi\: \cos \theta \nonumber \\ a &= \cos^{-1}\left ( \cos^2 \phi + \sin^2 \phi\: \cos \theta \right ) \nonumber \end{align}$$

Dengan demikian jarak kota Kentut dan kota Sendawa jika melalui lingkaran besar ialah

$$\begin{align} r_2 = \frac{a}{360^{\circ}}2\pi R \nonumber \end{align}$$

Dengan memasukkan nilai didapatkan $r_2 = 3831,6$ km, yang mana lebih pendek dari $r_1$.

Jadi agar dapat menempuh jarak terpendek, alih-alih berjalan "lurus" sepanjang lintang, akan lebih pendek jika "berbelok" dulu ke selatan kemudian belok kembali ke utara.

Pustaka: Astronomy, Principle and Practice. A. E. Roy and D. Clarke.

Lihat juga:

Luna, Segitiga Bola, dan Teorema Girard.
Selengkapnya...

Missing Square Puzzle (64 = 65)

         Ungkapan sebelas-duabelas tentunya sudah lazim terdengar di telinga kita. Ya, ungkapan yang bermakna beda tipis ini begitu cerdas menurut saya, begitu pula penemu problem yang sama sekali tidak lucu ini, Missing square puzzle. Kalau sebelas dan dua belas saja beda tipis, apalagi 64 dan 65, Perhatikan puzzle di bawah ini, ada puzzle yang hilang pada gambar segitiga bawah padahal keduanya nampak identik (diambil dari en.wikipedia):

        Meskipun kalau kita teliti baik-baik sebenarnya mudah saja untuk memecahkan problem yang tidak lucu ini, keheranan yang berlebihan daripada rasa ingin tahu biasanya membuat kita tidak mampu memecahkannya. Bahkan rekan saya Yoko rambutnya hampir jatuh terkulai melihat puzzle ini :).

        Oke, mari kita pecahkan puzzle ini! Kuncinya adalah ungkapan yang saya paparkan tadi, sulit membedakan 64 biji apel dan 65 biji apel dalam sepintas, apalagi luasan. Sekarang perhatikan bangun-bangun bagian dari segitiga siku-siku pada kedua gambar (dua bentuk L dan dua segitiga siku-siku), amati dengan teliti, dan ternyata kesemuanya identik. Namun, jika kita mengamati segitiga siku-siku besar pada gambar atas dan bawah (terhitung pecahan yang raib), ternyata keduanya tidak identik.

        Gradien dari sisi miring (semestinya rusuk miring) pada segitiga merah ialah 3/8 = 0,375, sedangkan pada segitiga biru 2/5 = 0,4. Keduanya berbeda, jadi jelas pada segitiga besar pada kedua gambar sisi miringnya tidaklah lurus, melainkan bengkok. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini, yang sudah dilebih-lebihkan.

        Panjang A1B1 = A2B2, B1C1 = B2C2, A1D1 = C2D2, dan C1D1 = A2D2. Jelas segitiga bagian atas lebih sempit bukan? jadi silakan lakukan kalkulasi, luas segitiga bawah pada gambar atas dikurangi satu kotak tepat sama dengan luas segitiga atas (pada gambar atas).

Selengkapnya...

Volum Limas/Kerucut Terpancung Miring

Yang lalu pada postingan mengenai volume kerucut terpancung, saya memberikan problem jika kerucut terpancung miring. Ternyata setelah mencakar berlembar-lembar saya tetap tidak mendapatkan solusinya menggunakan kalkulus. Namun menggunakan geometri dengan sampel limas persegi, dapat kita generalisasi untuk mendapatkan solusi volume kerucut terpancung miring.

Oke, ambil sampel limas persegi terpancung, ABCD.EFGH

 

Terdapat dua buah limas terpancung (sebagai prisma miring), yang di bawah ABCD.GF dan yang di atas EFGH.DA. Di sini kita mendefinisikan Δs = (s₁ - s₂)/2. Pecah limas menjadi dua bagian, yaitu dua buah prisma miring

Alas dari kedua prisma tadi merupakan bagian dari trapesium KEFL, dengan alas prisma bawah, segitiga KFL:

dan alas prisma atas, segitiga KFE:

A.  Volume prisma bawah

Prisma ABCD.FG ini adalah bagian bawah dari limas yang terpancung miring. Pecah lagi menjadi tiga bagian, seperti gambar di atas, yaitu sebuah prisma segitiga tegak, dengan alas segitiga KFL dan tinggi = t, sehingga volumenya:

kemudian masih terdapat dua limas persegi panjang di bagian kiri dan kanan, keduanya tentu kongruen. Volume keduanya yaitu:

Jadi, volume total prisma bawah, V₁ didapatkan:

B.  Volume prisma atas

Bagian ini adalah bagian atas dari limas yang terpancung miring. Pecah lagi menjadi tiga bagian, seperti gambar di atas, yaitu sebuah prisma segitiga tegak, dengan alas segitiga KFE dan tinggi = t, sehingga volumenya:

Kemudian masih terdapat dua limas segitiga yang kongruen, salah satunya limas A.KFE yang luas alasnya sama dengan segitiga KFE dan tinggi = AK = Δs, volume keduanya ialah:

Jadi, volume total prisma atas, V₂ didapatkan:

Volume total keduanya V₁ + V₂, haruslah sama dengan volume limas terpancung yang telah didapatkan pada posting yang lalu. Kita coba jumlahkan

Ternyata sudah sesuai.

Bila irisan limas tidak sampai menyentuh dasar (di AD pada gambar di atas), maka volume irisan bawah limas terpancung miring dapat diperoleh dengan mengukur volume segmen limas terpancung paling bawah (misal namakan V₀) ditambah V₁. Demikian pula volume irisan atas limas terpancung miring dapat diperoleh dengan mengukur volume segmen limas paling bawah (misal namakan V₃) ditambah V₂.

Dari hasil yang telah kita peroleh di atas, dapatlah dilakukan generalisasi untuk mendapatkan volume segmen bawah kerucut terpancung miring:

Di mana r₀, r₁ dan r₂ merupakan radius lingkaran dan t₀ dan t₁ ialah tinggi tiap segmen (lihat gambar di bawah). Perbandingan t₀ dan t₀ terhadap tinggi total limas sebelum dipancung, t_lim dapat diperoleh dengan perbandingan segitiga. Dengan demikian, problem lanjut pada postingan volume kerucut terpancung dapat diselesaikan.

 

Baca juga:
Volum kerucut terpancung
Volum limas terpancung
Contoh soal mengenai limas terpancung miring
Selengkapnya...

Volum Limas Terpancung

        Yang lalu saya telah membahas mengenai volum kerucut terpancung dengan menggunakan kalkulus, sekarang saya akan membahas volum limas terpancung. Kali ini saya akan menyelesaikannya dengan geometri aritmetik. Agar lebih variatif, saya mengambil limas segi empat, seperti pada gambar berikut:

        Perhatikan bahwa t = t ₁ - t ₂. Menggunakan rumus perbandingan segitiga, didapatkan:

sehingga

Volum prisma terpancung, V ialah:

        Perhatikan persamaan di atas identik dengan volum kerucut terpancung, berhubung kerucut ialah limas segi-tak-hingga. Secara umum untuk limas segi berapapun, persamaan volum ini dapat kita tuliskan:

dengan L₁ dan L₂ luas alas dan tutup limas terpancung.


Baca juga:

Volum kerucut terpancung

Volum limas/kerucut terpancung miring

Contoh soal mengenai limas terpancung miring

Selengkapnya...

Panjang Busur Helix

Helix merupakan geometri satu dimensi yang eksis dalam tiga dimensi. Helix memiliki bentuk dasar berupa lingkaran. Berbeda dari spiral yang "diekspansi" dalam bidang-XY, heliks "ditarik" ka arah sumbu-Z dengan parameter baru, c. Anggap radius lingkaran dasar dari helix ialah a dan selang/jarak point-point yang berbeda sudut 2π radian kita sebut c, maka persamaan parameter helix dapat dinyatakan dengan:

$$\begin{align} x &= a \cos \theta \nonumber \\ y &= a \sin \theta \nonumber \\ z &= c \theta \nonumber \end{align}$$

Dengan menggunakan kalkulus, panjang kurva dengan metode parameterisasi dinyatakan dalam

$$s=\int_{b}^{a}\sqrt{\left ( \frac{dx}{d\theta}\right )^2+\left ( \frac{dy}{d\theta}\right )^2+\left ( \frac{dz}{d\theta}\right )^2}\: d\theta$$

Sehingga dapat kita hitung panjang busur dari helix dari $\theta=0$ hingga $\theta'$ ialah

$$\begin{align} s &= \int_{0}^{\theta'} \sqrt{(-a \sin \theta)^2+(a \cos \theta)^2+c^2}\: d\theta \nonumber \\ &= \int_{0}^{\theta'}\sqrt{a^2+c^2}\: d\theta \nonumber \\ &= \left [ \theta \sqrt{a^2+c^2} \right ]_0^{\theta'} \nonumber \end{align}$$

Perhatikan persamaan di atas, $\frac{ds(\theta)}{d\theta} =$ konstan sehingga variasi panjang kurva terhadap nilai $\theta$ selalu tetap. Artinya, panjang kurva dari suatu heliks dalam selang $\Delta\theta$ selalu sama dengan dua kali panjang kurvanya dalam selang $2\Delta\theta$. Dalam selang $[0,2\pi]$, didapatkan panjang kurva,

$$s = 2\pi\sqrt{a^2+c^2}$$

Sumber gambar: wikipedia

Lihat juga: Panjang busur spiral

Selengkapnya...

Panjang Busur Spiral

Spiral (di sini dimaksudkan spiral Archimedes) dapat dinyatakan dengan fungsi dalam koordinat polar sebagai berikut.

$$r(\theta)=a\: \theta$$

Bentuknya mirip dengan obat nyamuk, seperti gambar berikut ini (dicomot dari wikipedia).

Di mana $0 < \theta < \infty$, dan $a$ merupakan selang/jarak antara point-point berselisih sudut $2\pi$ radian. Dengan menggunakan kalkulus, kita akan menghitung panjang busur dari spiral dalam selang 0 hingga $\theta$ dapat dinyatakan dengan

$$\begin{align} s &= \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r(\theta)^2+\left (\frac{dr(\theta)}{d\theta}\right )^2}\: d\theta \nonumber \\ &= \int_{0}^{\theta} \sqrt{a^2\theta^2+a^2}\: d\theta \nonumber \\ &= \int_{0}^{\theta} \sqrt{\theta^2+1}\: d\theta \nonumber \end{align}$$

Karena tidak dapat diselesaikan dengan cara biasa, kita lakukan substitusi atau pemisalan

$$\theta=\tan x \rightarrow d\theta=\sec^2 x\: dx$$ $$\sqrt{\theta^2+1}=\sqrt{\tan^2 x + 1}=\sqrt{\sec^2 x}=\left | \sec x \right |=\sec x$$

Persamaan kita sebelumnya kini menjadi,

$$\begin{align} s &= a\int_{0}^{\theta} \sqrt{\theta^2+1}\: \sec^2 x\: dx \nonumber \\ &= a\int_{0}^{\theta} \sec^3 x\: dx \nonumber \end{align}$$

Bentuk integral dari $\sec^3 x$ dapat kita turunkan atau lihat langsung di tabel (^^), yaitu:

$$\int \sec^3 x\: dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2} \ln\left | \sec x + \tan x \right | + C$$

Untuk penjelasannya silakan klik di sini. Akhirnya kalkulasikan batas integrasinya dan lakukan substitusi balik sebagaimana pemisalan sebelumnya, dan didapatkan

$$\begin{align} s &= \frac{1}{2}a \left [ \sec x \tan x + \ln(\sec x + \tan x) \right ]_0^\theta \nonumber \\ &= \frac{1}{2}a \left [ \theta\sqrt{\theta^2+1} + \ln(\theta+\sqrt{\theta^2+1}) \right ] \nonumber \end{align}$$

Selesai..

Lihat juga:
Panjang busur heliks

Selengkapnya...

Γ(½)

Berhubung lagi tidak ada ide dan sedang keranjingan latex, jadi saya posting-posting sembarang saja, Mmm.... kali ini mengenai nilai $\Gamma (1/2)$ [bacanya gamma seperdua]. Fungsi Gamma merupakan bentuk integral tak wajar yang didefinisikan sebagai:

$$\Gamma (\alpha )=\int_{0}^{\infty} x^{(\alpha -1)}e^{-x}\: dx$$

Sehingga dapat kita cari $\Gamma (1/2)$ yaitu:

$$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )=\int_{0}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}}e^{-x}\: dx$$

substitusikan $x = u^2$, sehingga $dx = 2u\: du$, didapatkan:

$$\begin{align} \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) &= \int_{0}^{\infty} (u^2)^{-\frac{1}{2}}\: e^{-u^2}\: 2u\: du \nonumber \\ &=2 \int_{0}^{\infty} e^{-u^2}\: du \nonumber \end{align}$$

kuadratkan kedua ruas agar dapat ditransformasi ke koordinat bola:

$$\left \{ \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) \right \}^2=\left\{2 \int_{0}^{\infty} e^{-u^2}\: du\right\}\left\{2 \int_{0}^{\infty} e^{-v^2}\: dv\right\}=4\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(u^2+v^2)}\: dudv$$

Sekarang lakukan transformasi, mengingat $u^2 + v^2 = r^2$ dan $du\:dv = r\: dr\: d\theta$ sehingga:

$$\begin{align} \left \{ \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) \right \}^2 &= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty}r e^{-r^2}\: dr\: d\theta \nonumber \\ &= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left [ -\frac{1}{2}e^{-r^2} \right ]^{\infty}_0\: d\theta \nonumber \\ &= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\: d\theta \nonumber \\ &= 4\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi}{2}=\pi \nonumber \end{align}$$

Akhirnya diperoleh

$$\Gamma \left (\frac{1}{2} \right ) = \sqrt{\pi}$$ Selesai.

Selengkapnya...